Strona główna » Matematyka » Ostrosłup

Zadanie maturalne nr 33, matura 2016 (poziom podstawowy)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Rozwiązanie zadania

Zaczynamy od szkicu i odpowiednich oznaczeń:

Aby wykorzystać daną objętość ostrosłupa, musimy znać pole podstawy, a bez znajomości długości krawędzi podstawy (boku trójkąta równobocznego) nic nie policzymy. Zaczynamy więc od wyznaczenia wielkości a w oparciu o twierdzenie Pitagorasa.

$(|AB|)^2=(|BP|)^2+(|AP|)^2\\ a^2=(\frac{1}{2}a)^2+H^2 \\ H^2=\frac{3}{4}a^2\\ H=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Policzmy teraz pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego.

$P_p=\frac{1}{2}aH=\frac{1}{2}a\cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$

Znamy objętość ostrosłupa. Skorzystamy z tego, wyznaczając wielkość a. Przypomnę, że objętość ostrosłupa obliczamy mnożąc jedną trzecią pola podstawy przez wysokość tego ostrosłupa.

$V=27=\frac{1}{3}P_p\cdot H\\27=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ 27=\frac{a^3}{8}\\ a=6 \\ H=\frac{\sqrt{3}\cdot 6}{2}=3\sqrt{3}$

Aby policzyć pole powierzchni bocznej, musimy znać wielkość h. Obliczymy ją z twierdzenia Pitagorasa. Zwracam tylko uwagę na to, że odcinek OP jest równy 1/3 długości H, gdyż jest to trójkąt równoboczny, a punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

$|OP|=\frac{1}{3}H=\sqrt{3}\\ H=\3\sqrt{3}\\ H^2+(|OP|)^2=h^2\\(3\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2=h^2\\h^2=30\\h=\sqrt{30}$