Nauka » Matematyka » Ostrosłup

Zadanie maturalne nr 33, matura 2016 (poziom podstawowy)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Rozwiązanie zadania

Zaczynamy od szkicu i odpowiednich oznaczeń:

Aby wykorzystać daną objętość ostrosłupa, musimy znać pole podstawy, a bez znajomości długości krawędzi podstawy (boku trójkąta równobocznego) nic nie policzymy. Zaczynamy więc od wyznaczenia wielkości a w oparciu o twierdzenie Pitagorasa.

$(|AB|)^2=(|BP|)^2+(|AP|)^2\\ a^2=(\frac{1}{2}a)^2+H^2 \\ H^2=\frac{3}{4}a^2\\ H=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Policzmy teraz pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego.

$P_p=\frac{1}{2}aH=\frac{1}{2}a\cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$

Znamy objętość ostrosłupa. Skorzystamy z tego, wyznaczając wielkość a. Przypomnę, że objętość ostrosłupa obliczamy mnożąc jedną trzecią pola podstawy przez wysokość tego ostrosłupa.

$V=27=\frac{1}{3}P_p\cdot H\\27=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ 27=\frac{a^3}{8}\\ a=6 \\ H=\frac{\sqrt{3}\cdot 6}{2}=3\sqrt{3}$

Aby policzyć pole powierzchni bocznej, musimy znać wielkość h. Obliczymy ją z twierdzenia Pitagorasa. Zwracam tylko uwagę na to, że odcinek OP jest równy 1/3 długości H, gdyż jest to trójkąt równoboczny, a punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

$|OP|=\frac{1}{3}H=\sqrt{3}\\ H=\3\sqrt{3}\\ H^2+(|OP|)^2=h^2\\(3\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2=h^2\\h^2=30\\h=\sqrt{30}$

Pole powierzchni bocznej obliczamy jako trzy razy pole trójkąta BCS:

$P_{pb}=3\cdot \frac{1}{2}ah=3\cdot\frac{1}{2} \cdot 6\cdot \sqrt{30}=9\sqrt{30}$

Ostatnia cześć zadania, to obliczenie cosinusa kata alfa.

$cos{\alpha}=\frac{|OP|}{h}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{30}}{30}=\frac{\sqrt{10}}{10}$

Odpowiedź

$P_{pb}=9\sqrt{30}\\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{10}}{10}$

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom rozszerzony)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2014
Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :

A. 5
B. 7
C. 8
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2014
Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.