Zadanie maturalne nr 33, matura 2016 (poziom podstawowy)
Rozwiązanie zadania
Zaczynamy od szkicu i odpowiednich oznaczeń:

Aby wykorzystać daną objętość ostrosłupa, musimy znać pole podstawy, a bez znajomości długości krawędzi podstawy (boku trójkąta równobocznego) nic nie policzymy. Zaczynamy więc od wyznaczenia wielkości a w oparciu o twierdzenie Pitagorasa.

Policzmy teraz pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego.

Znamy objętość ostrosłupa. Skorzystamy z tego, wyznaczając wielkość a. Przypomnę, że objętość ostrosłupa obliczamy mnożąc jedną trzecią pola podstawy przez wysokość tego ostrosłupa.

Aby policzyć pole powierzchni bocznej, musimy znać wielkość h. Obliczymy ją z twierdzenia Pitagorasa. Zwracam tylko uwagę na to, że odcinek OP jest równy 1/3 długości H, gdyż jest to trójkąt równoboczny, a punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pole powierzchni bocznej obliczamy jako trzy razy pole trójkąta BCS:

Ostatnia cześć zadania, to obliczenie cosinusa kata alfa.

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3259
Zadania podobne

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:
A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.
Pokaż rozwiązanie zadania

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).
Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
- α=45°
- 45°<α<60°
- α>60°
- α=60°
Pokaż rozwiązanie zadania

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 4√3/3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania