Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek:

Z uwagi na fakt, iż trójkąty \(ADS\) oraz \(CDS\) są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną \(DS\) oraz \(|AD|=|CD|\), trójkąty \(ADS\) oraz \(CDS\) są przystające. Zatem krawędzie boczne \(AS\) i \(CS\) ostrosłupa mają tę samą długość. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

\(|SA|=|SC|=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5a^2}=a\sqrt{5}\)

\(\|AC|=|BD|=a\sqrt{2}\)

Trójkąt \(BDS\) jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa:

\(|SB|=\sqrt{(2a)^2+(a\sqrt{2})^2}=\sqrt{4a^2+2a^2}=a\sqrt{6}\)

Odcinek \(AE\) jest wysokością ściany bocznej \(ABS\). Jego długość możemy wyznaczyć ze wzoru na pole trójkąta \(ABS\) i to w dwojaki sposób, dzięki czemu będzie można wyznaczyć \(|AE|\):

\(P=\frac{1}{2}a\cdot |AS|=\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{5}\)

P=\frac{1}{2}|SB|\cdot |AE|=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{6}\cdot |AE|\)

Przyrównujemy do siebie prawe strony powyższych równań i wyznaczamy \(|AE|\).

\(\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{5}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{6}\cdot |AE|\)

\(a\sqrt{5}=\sqrt{6}\cdot |AE|/:\sqrt{6}\)

\(|AE|=a\sqrt{\frac{5}{6}}\)

Dla trójkąta \(AEC\) na podstawie twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

\(2a^2=\frac{5}{6}a^2+\frac{5}{6}a^2-2\cdot\frac{5}{6}a^2\cos{\alpha}\)

\(2a^2-\frac{10}{6}a^2=-2\cdot\frac{5}{6}a^2\cos{\alpha}\)

\(\frac{2}{6}a^2=-\frac{10}{6}a^2\cos{\alpha}/:(-\frac{10}{6}a^2)\)

\(\cos{\alpha}=-\frac{1}{5}\)

Na podstawie jedynki trygonometrycznej wyznaczymy sinus kąta:

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\)

\(\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt{24}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3372

Zadania podobne

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa:

A. 5

B. 7

C. 8

D. 10

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca.

B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.

C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.

D. równa wysokości walca.

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek).

Kąt \(\alpha\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek

1. \(\alpha=45°\)
2. \(45°<\alpha <60°\)
3. \(\alpha >60°\)
4. \(\alpha =60°\)

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

Miara kąta SAC jest równa

A. 90°

B. 75°

C. 60°

D. 45°

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\).

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt \(ABCD\), którego boki mają długości \(|AB|=32\) i \(|BC|=18\). Ściany boczne \(ABS\) i \(CDS\) są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(\alpha\). Ściany boczne \(BCS\) i \(ADS\) są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\beta\) . Miary kątów \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek: \(\alpha+\beta=90°\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy, pod kątem którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez \(ABCD (AB||CD)\). Ramiona tego trapezu mają długości \(AD=10\) i \(BC=16\), a miara kąta \(ABC\) jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α, taki, że \(tg\alpha =\frac{9}{2}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Podstawą tego ostrosłupa jest

A. kwadrat.

B. pięciokąt foremny.

C. sześciokąt foremny.

D. siedmiokąt foremny.