Nauka » Matematyka » Ostrosłup

Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek:

rysunek, zadanie 14, matura 2015

Z uwagi na fakt, iż trójkąty ADS oraz CDS są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS oraz |AD|=|CD| trójkąty ADS oraz CDS są przystające. Zatem krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

$|SA|=|SC|=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5a^2}=a\sqrt{5}\\|AC|=|BD|=a\sqrt{2}$

Trójkąt BDS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa:

$|SB|=\sqrt{(2a)^2+(a\sqrt{2})^2}=\sqrt{4a^2+2a^2}=a\sqrt{6}$

Odcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS. Jego długość możemy wyznaczyć ze wzoru na pole trójkąta ABS i to w dwojaki sposób, dzięki czemu będzie można wyznaczyć |AE|:

$P=\frac{1}{2}a\cdot |AS|=\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{5}\\P=\frac{1}{2}|SB|\cdot |AE|=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{6}\cdot |AE|$

Przyrównujemy do siebie prawe strony powyższych równań i wyznaczamy |AE|

$\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{5}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{6}\cdot |AE|\\ a\sqrt{5}=\sqrt{6}\cdot |AE|/:\sqrt{6}\\|AE|=a\sqrt{\frac{5}{6}}$

Dla trójkąta AEC na podstawie twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

$2a^2=\frac{5}{6}a^2+\frac{5}{6}a^2-2\cdot\frac{5}{6}a^2\cos{\alpha}\\2a^2-\frac{10}{6}a^2=-2\cdot\frac{5}{6}a^2\cos{\alpha}\\\frac{2}{6}a^2=-\frac{10}{6}a^2\cos{\alpha}/:(-\frac{10}{6}a^2)\\ \cos{\alpha}=-\frac{1}{5}$

Na podstawie jedynki trygonometrycznej wyznaczymy sinus kąta:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt{24}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Odpowiedź

$sin\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 33, matura 2016 (poziom podstawowy)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom rozszerzony)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2014
Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :

A. 5
B. 7
C. 8
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2014
Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.