Nauka » Matematyka » Ostrosłup

Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek:

rysunek, zadanie 14, matura 2015

Z uwagi na fakt, iż trójkąty ADS oraz CDS są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS oraz |AD|=|CD| trójkąty ADS oraz CDS są przystające. Zatem krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

$|SA|=|SC|=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5a^2}=a\sqrt{5}\\|AC|=|BD|=a\sqrt{2}$

Trójkąt BDS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa:

$|SB|=\sqrt{(2a)^2+(a\sqrt{2})^2}=\sqrt{4a^2+2a^2}=a\sqrt{6}$

Odcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS. Jego długość możemy wyznaczyć ze wzoru na pole trójkąta ABS i to w dwojaki sposób, dzięki czemu będzie można wyznaczyć |AE|:

$P=\frac{1}{2}a\cdot |AS|=\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{5}\\P=\frac{1}{2}|SB|\cdot |AE|=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{6}\cdot |AE|$

Przyrównujemy do siebie prawe strony powyższych równań i wyznaczamy |AE|

$\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{5}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{6}\cdot |AE|\\ a\sqrt{5}=\sqrt{6}\cdot |AE|/:\sqrt{6}\\|AE|=a\sqrt{\frac{5}{6}}$

Dla trójkąta AEC na podstawie twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

$2a^2=\frac{5}{6}a^2+\frac{5}{6}a^2-2\cdot\frac{5}{6}a^2\cos{\alpha}\\2a^2-\frac{10}{6}a^2=-2\cdot\frac{5}{6}a^2\cos{\alpha}\\\frac{2}{6}a^2=-\frac{10}{6}a^2\cos{\alpha}/:(-\frac{10}{6}a^2)\\ \cos{\alpha}=-\frac{1}{5}$

Na podstawie jedynki trygonometrycznej wyznaczymy sinus kąta:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt{24}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Odpowiedź

$sin\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 33, matura 2016 (poziom podstawowy)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom rozszerzony)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2014
Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :

A. 5
B. 7
C. 8
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2014
Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.

Pokaż rozwiązanie zadania