Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek:
Z uwagi na fakt, iż trójkąty ADS oraz CDS są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną DS oraz |AD|=|CD| trójkąty ADS oraz CDS są przystające. Zatem krawędzie boczne AS i CS ostrosłupa mają tę samą długość. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

Trójkąt BDS jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa:

Odcinek AE jest wysokością ściany bocznej ABS. Jego długość możemy wyznaczyć ze wzoru na pole trójkąta ABS i to w dwojaki sposób, dzięki czemu będzie można wyznaczyć |AE|:

Przyrównujemy do siebie prawe strony powyższych równań i wyznaczamy |AE|

Dla trójkąta AEC na podstawie twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

Na podstawie jedynki trygonometrycznej wyznaczymy sinus kąta:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2017-01-10, ZAD-3372
Zadania podobne

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:
A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.
Pokaż rozwiązanie zadania

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).
Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
- α=45°
- 45°<α<60°
- α>60°
- α=60°
Pokaż rozwiązanie zadania

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 4√3/3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania