Zadanie maturalne nr 14, matura 2020 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Z warunku określonego w treści zadania jednakowego nachylenia wszystkich ścian bocznych do podstawy pod tym samym kątem wynika, że, spodek O wysokości H ostrosłupa jest środkiem okręg u wpisanego w wielokąt będący podstawą ostrosłupa.

Niech r oznacza promień okręgu wpisanego w podstawę, h – wysokość trapezu ABCD, H natomiast niech oznacza wysokość samego ostrosłupa.

Sporządzamy rysunek poglądowy obrazujący podstawę tego ostrosłupa.

W trapez można wpisać okrąg, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Ponieważ |AD|+|BC|=10+16=26, to |AB|+|CD|=26.

Z definicji sinusa w trójkącie EBC otrzymujemy:

\(\sin{30°}=\frac{2r}{16}\)

\(\frac{1}{2}=\frac{r}{8}/\cdot 8\)

\(r=4\)

Ponieważ z warunków zadania wiemy, że \(tg{\alpha}=\frac{9}{2}\), to

\(tg{\alpha}=\frac{9}{2}=\frac{H}{r}\)

\(\frac{9}{2}=\frac{H}{4}/\cdot 4\)

\(H=18\)

Objętość ostrosłupa wyliczymy jako:

\(V=\frac{1}{3}\cdot P_{ABCD}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h\cdot H =\) \(=\frac{1}{3}\cdot \frac{26}{2}\cdot 8 \cdot 18 = 624\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-03-19, ZAD-4786

Zadania podobne

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).

Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek

1. α=45°
2. 45°<α<60°
3. α>60°
4. α=60°

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 4√3/3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

Miara kąta SAC jest równa

A. 90°

B. 75°

C. 60°

D. 45°

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, którego boki mają długości |AB| = 32 i |BC| = 18. Ściany boczne ABS i CDS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem α. Ściany boczne BCS i ADS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β . Miary kątów α i β spełniają warunek: α +β = 90°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy √7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.