Zadanie maturalne nr 14, matura 2020 - poziom rozszerzony
Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD ( AB || CD) . Ramiona tego trapezu mają długości AD = 10 i BC = 16, a miara kąta ABC jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α, taki, że tgα = 9/2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie zadania
Z warunku określonego w treści zadania jednakowego nachylenia wszystkich ścian bocznych do podstawy pod tym samym kątem wynika, że, spodek O wysokości H ostrosłupa jest środkiem okręg u wpisanego w wielokąt będący podstawą ostrosłupa.
Niech r oznacza promień okręgu wpisanego w podstawę, h – wysokość trapezu ABCD, H natomiast niech oznacza wysokość samego ostrosłupa.
Sporządzamy rysunek poglądowy obrazujący podstawę tego ostrosłupa.
W trapez można wpisać okrąg, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe. Ponieważ |AD|+|BC|=10+16=26, to |AB|+|CD|=26.
Z definicji sinusa w trójkącie EBC otrzymujemy:
\(\sin{30°}=\frac{2r}{16}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{r}{8}/\cdot 8\)
\(r=4\)
Ponieważ z warunków zadania wiemy, że \(tg{\alpha}=\frac{9}{2}\), to
\(tg{\alpha}=\frac{9}{2}=\frac{H}{r}\)
\(\frac{9}{2}=\frac{H}{4}/\cdot 4\)
\(H=18\)
Objętość ostrosłupa wyliczymy jako:
\(V=\frac{1}{3}\cdot P_{ABCD}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h\cdot H =\) \(=\frac{1}{3}\cdot \frac{26}{2}\cdot 8 \cdot 18 = 624\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-19, ZAD-4786
Zadania podobne

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:
A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.
Pokaż rozwiązanie zadania

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).
Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
- α=45°
- 45°<α<60°
- α>60°
- α=60°
Pokaż rozwiązanie zadania

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 4√3/3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.
Miara kąta SAC jest równa
A. 90°
B. 75°
C. 60°
D. 45°
Pokaż rozwiązanie zadania

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.
Pokaż rozwiązanie zadania

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, którego boki mają długości |AB| = 32 i |BC| = 18. Ściany boczne ABS i CDS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem α. Ściany boczne BCS i ADS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β . Miary kątów α i β spełniają warunek: α +β = 90°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy √7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania