Zadanie maturalne nr 20, matura 2018
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).
Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
- α=45°
- 45°<α<60°
- α>60°
- α=60°
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy na rysunku dodatkowe oznaczenia.
W podstawie ostrosłupa mamy kwadrat, stąd jego przekątna (a√2) ma długość:
\( |KM|=4\sqrt{2} \)
Możemy zapisać, że:
\( x=\frac{1}{2}|KM|=2\sqrt{2} \)
Zauważmy, że trójkąt KNS jest trójkątem prostokątnym, równoramienny, i
\( |SK|=|KM|=4\sqrt{2} \)
Trójkąt KS'S jest trójkątem prostokątnym. Korzystając z definicji sinusa w tym trójkącie mamy:
\( \sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{x}{|KS|}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \)
wiemy, że sinus30°=1/2, więc:
\( \frac{\alpha}{2}=30°/\cdot2 \)
\( \alpha=60° \)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-05, ZAD-4605
Zadania podobne

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:
A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.
Pokaż rozwiązanie zadania

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 4√3/3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.
Miara kąta SAC jest równa
A. 90°
B. 75°
C. 60°
D. 45°
Pokaż rozwiązanie zadania