Nauka » Matematyka » Ostrosłup

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom rozszerzony)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie zadania

Przyjmujemy następujące oznaczenia:

Wprost z rysunku możemy odczytać, że

$|OB|=\frac{a\sqrt{2}}{2},\quad |OE|=\frac{a}{2},\quad |\angle BFO|=60^o$

Ponadto widzimy, ze trójkąt BFO jest trójkątem prostokątnym. Z definicji sinusa kąta możemy napisać, że:

$sin{60^o}=\frac{|BO|}{|BF|}\\ |BF|=\frac{|BO|}{sin{60^o}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Trójkąt SEC jest podobny do trójkąta BFC, więc

$\frac{|SE|}{|SC|}=\frac{|BF|}{|BC|}\\\frac{l}{b}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{a}\\ l=\frac{b\sqrt{6}}{3}$

Trójkąty EOS i BOS są trójkątami prostokątnymi. Możemy do nich zatem zastosować twierdzenie Pitagorasa.

$\begin{cases} H^2+(\frac{a}{2})^2=(\frac{b\sqrt{6}}{3})^2 \\ H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=b^2\end{cases} \\ \begin{cases} 25+\frac{a^2}{4}=\frac{2b^2}{3})/ \cdot 12 \\ 25+\frac{a^2}{2}=b^2/ \cdot 8 \end{cases}\\ \begin{cases} 300+3a^2=8b^2\\200+4a^2=8b^2\end{cases} \\ a^2=100 \\ a=10 \\ b^2=75\\ b=5\sqrt{3}$

Mamy wszystkie dane, aby obliczyć objętość ostrosłupa (1/3 pola podstawy razy wysokość).

$V=\frac{1}{3}a^2\cdot H = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 5=\frac{500}{3}$

Odpowiedź

V=500/3

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 33, matura 2016 (poziom podstawowy)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2014
Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :

A. 5
B. 7
C. 8
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2014
Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:

A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2018

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).

rysunek

Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek

α=45°
45°<α<60°
α>60°
α=60°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 4√3/3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 22, matura 2019

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

rysunek

Miara kąta SAC jest równa

A. 90°

B. 75°

C. 60°

D. 45°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2019

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.

Rysunek

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2019 - poziom rozszerzony

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, którego boki mają długości |AB| = 32 i |BC| = 18. Ściany boczne ABS i CDS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem α. Ściany boczne BCS i ADS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β . Miary kątów α i β spełniają warunek: α +β = 90°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2020

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy √7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rysunek do zadania 34, matura 2022

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2020 - poziom rozszerzony

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD ( AB || CD) . Ramiona tego trapezu mają długości AD = 10 i BC = 16, a miara kąta ABC jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α, taki, że tgα = 9/2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.