Strona główna » Matematyka » Ostrosłup

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom rozszerzony)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie zadania

Przyjmujemy następujące oznaczenia:

Wprost z rysunku możemy odczytać, że

$|OB|=\frac{a\sqrt{2}}{2},\quad |OE|=\frac{a}{2},\quad |\angle BFO|=60^o$

Ponadto widzimy, ze trójkąt BFO jest trójkątem prostokątnym. Z definicji sinusa kąta możemy napisać, że:

$sin{60^o}=\frac{|BO|}{|BF|}\\ |BF|=\frac{|BO|}{sin{60^o}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Trójkąt SEC jest podobny do trójkąta BFC, więc

$\frac{|SE|}{|SC|}=\frac{|BF|}{|BC|}\\\frac{l}{b}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{a}\\ l=\frac{b\sqrt{6}}{3}$

Trójkąty EOS i BOS są trójkątami prostokątnymi. Możemy do nich zatem zastosować twierdzenie Pitagorasa.

$\begin{cases} H^2+(\frac{a}{2})^2=(\frac{b\sqrt{6}}{3})^2 \\ H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=b^2\end{cases} \\ \begin{cases} 25+\frac{a^2}{4}=\frac{2b^2}{3})/ \cdot 12 \\ 25+\frac{a^2}{2}=b^2/ \cdot 8 \end{cases}\\ \begin{cases} 300+3a^2=8b^2\\200+4a^2=8b^2\end{cases} \\ a^2=100 \\ a=10 \\ b^2=75\\ b=5\sqrt{3}$