Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom rozszerzony)


W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Przyjmujemy następujące oznaczenia:

Wprost z rysunku możemy odczytać, że

|OB|=\frac{a\sqrt{2}}{2},\quad |OE|=\frac{a}{2},\quad |\angle BFO|=60^o

Ponadto widzimy, ze trójkąt BFO jest trójkątem prostokątnym. Z definicji sinusa kąta możemy napisać, że:

sin{60^o}=\frac{|BO|}{|BF|}\\ |BF|=\frac{|BO|}{sin{60^o}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}

Trójkąt SEC jest podobny do trójkąta BFC, więc

\frac{|SE|}{|SC|}=\frac{|BF|}{|BC|}\\\frac{l}{b}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{a}\\ l=\frac{b\sqrt{6}}{3}

Trójkąty EOS i BOS są trójkątami prostokątnymi. Możemy do nich zatem zastosować twierdzenie Pitagorasa.

\begin{cases} H^2+(\frac{a}{2})^2=(\frac{b\sqrt{6}}{3})^2 \\ H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=b^2\end{cases} \\ \begin{cases} 25+\frac{a^2}{4}=\frac{2b^2}{3})/ \cdot 12 \\ 25+\frac{a^2}{2}=b^2/ \cdot 8 \end{cases}\\ \begin{cases} 300+3a^2=8b^2\\200+4a^2=8b^2\end{cases} \\ a^2=100 \\ a=10 \\ b^2=75\\ b=5\sqrt{3}

Mamy wszystkie dane, aby obliczyć objętość ostrosłupa (1/3 pola podstawy razy wysokość).

V=\frac{1}{3}a^2\cdot H = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 5=\frac{500}{3}

ksiązki Odpowiedź

V=500/3

© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3287





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.