Zadanie maturalne nr 11, matura 2019 - poziom rozszerzony
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, którego boki mają długości |AB| = 32 i |BC| = 18. Ściany boczne ABS i CDS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem α. Ściany boczne BCS i ADS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β . Miary kątów α i β spełniają warunek: α +β = 90°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek poglądowy:
Przeciwległe ściany boczne ABS i CDS są nachylone do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod tym samym kątem. Zatem trójkąt EFS jest równoramienny.
Stąd wynika, że spodek O wysokości SO ostrosłupa leży na osi symetrii podstawy ABCD.
Tak samo wnioskujemy, że O leży na osi symetrii prostokąta ABCD przechodzącej przez środki boków AB i CD. Zatem O to środek symetrii podstawy ostrosłupa, a punkty E, M, F i N są środkami krawędzi tej podstawy.
Mamy dalej:
\(|MO|=\frac{1}{2}|AB|=16\),
\(|EO|=\frac{1}{2}|BC|=9\).
W trójkącie EOS i MOS mamy:
\(tg\alpha =\frac{h}{|EO|}=\frac{h}{9}\).
\(tg\beta=\frac{h}{|MO|}=\frac{h}{16}\).
Z warunków zadania wynika, że:
\(\alpha + \beta=90°\).
\(\beta=90°-\alpha\).
Ze wzorów redukcyjnych wynika, że:
\(tg\beta=tg(90°-\alpha)=ctg\alpha= \frac{1}{tg\alpha}\).
\(tg\beta=\frac{1}{tg\alpha}\).
\(tg\beta\cdot tg\alpha=1\).
\(\frac{h}{9}\cdot \frac{h}{16}=1\).
\(h^2=144\).
\(h=12\).
Skorzystamy teraz z twierdzenmia Pitagorasa:
\(h_a^2=|EO|^2+h^2\)
\(h_a^2=9^2+12^2\)
\(h_a=15\)
\(h_b^2=|NO|^2+h^2\)
\(h_b^2=16^2+12^2\)
\(h_b=20\)
Pole powierzhni całkowitej:
\(P=P+p+2P_{ABS}+2P_{BCS}\)
\(P=18\cdot 32+2\cdot \frac{1}{2}\cdot 32\cdot 15+2\cdot \frac{1}{2}\cdot 18\cdot 20=1416\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-02-23, ZAD-4727
Zadania podobne
Zadanie maturalne nr 33, matura 2016 (poziom podstawowy)Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom rozszerzony)W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom rozszerzony)Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 19, matura 2014Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 20, matura 2014Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:
A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 20, matura 2018Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).
Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
- α=45°
- 45°<α<60°
- α>60°
- α=60°
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 11, matura 2018 (poziom rozszerzony)Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 4√3/3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 22, matura 2019Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.
Miara kąta SAC jest równa
A. 90°
B. 75°
C. 60°
D. 45°
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 34, matura 2019Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 34, matura 2020Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy √7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 14, matura 2020 - poziom rozszerzonyPodstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD ( AB || CD) . Ramiona tego trapezu mają długości AD = 10 i BC = 16, a miara kąta ABC jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α, taki, że tgα = 9/2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania