Zadanie maturalne nr 11, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 4√3/3. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie zadania
Sporządźmy najpierw rysunek poglądowy.
Wprowadzimy oznaczenia:
- Odcinek SO to wysokość h ostrosłupa ABCS.
- BE to wysokość podstawy ABC.
- SE=a oraz SF to wysokości odpowiednich ścian tego ostrosłupa.
Zgodnie z warunkami zadania mamy, że trójkąt EFS jest trójkątem równobocznym, zatem |EF|=a.
Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.
Punkt E jest środkiem krawędzi AC (rozpatrujemy ostrosłup prawidłowy), a punkt F jest środkiem krawędzi BC. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 2a, zatem |AE|=a.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego AES mamy:
\( a^2+a^3=|AS|^2\)
|AS| to krawędź boczna tego ostrosłupa i jest dana:
\(2a^=(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2\)
\(2a^2=\frac{48}{9}\)
\(a^2=\frac{24}{9}\)
\(a=\frac{\sqrt{24}}{3}\)
\(a=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)
Zatem:
\(|AB|=2a=\frac{4\sqrt{6}}{3}\)
Wysokość h ostrosłupa obliczymy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta EOS, ale najpierw trzeba znaleźć długość |EO|.
Wysokość podstawy w trójkącie równobocznym jest równa:
\(|EB|=\frac{|AB|\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}\sqrt{3}}{2}\)
\(|EB|=\frac{2\sqrt{6}}{3}\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{18}}{3}=\frac{2\sqrt{2\cdot 9}}{3}=\frac{6\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}\)
W trójkącie równobocznym ABC:
\(|EO|=\frac{1}{3}\cdot |EB|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Obliczamy h:
\(h^2+|EO|^2=|SE|^2\)
\(h^2=|SE|^2-|EO|^2\)
\(h^2=(\frac{2\sqrt{6}}{3})^2-(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2\)
\(h^2=\frac{24}{9}-\frac{8}{9}=\frac{16}{9}\)
\(h=\frac{4}{3}\)
Obliczamy objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{(\frac{4\sqrt{6}}{3})^2\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{4}{3}\)
\(V=\frac{32\sqrt{3}}{27}\)
Odpowiedź
\(V=\frac{32\sqrt{3}}{27}\)
© medianauka.pl, 2023-01-15, ZAD-4645
Zadania podobne
Zadanie maturalne nr 33, matura 2016 (poziom podstawowy)Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 15, matura 2016 (poziom rozszerzony)W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom rozszerzony)Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 19, matura 2014Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa :
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 20, matura 2014Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest:
A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 20, matura 2018Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).
Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
- α=45°
- 45°<α<60°
- α>60°
- α=60°
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 22, matura 2019Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.
Miara kąta SAC jest równa
A. 90°
B. 75°
C. 60°
D. 45°
Pokaż rozwiązanie zadania