Nauka » Matematyka » Graniastosłup

Zadanie maturalne nr 13, matura 2022 - poziom rozszerzony

Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$ o podstawie prostokątnej $ABCD$. Przekątne $AH$ i $AF$ ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze $\alpha$ takiej, że $\sin{\alpha}=\frac{12}{13}$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $AFH$ jest równe 26,4. Oblicz wysokość $h$ tego graniastosłupa.

Matura 2022, zadanie 13

Rozwiązanie zadania

Na rysunku wprowadzamy dodatkowe oznaczenia.

Rysunek

Dane jest pole trójkąta AFH. Skorzystajmy ze wzoru na pole trójkata:

$P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}$, gdzie $a, b$ są długościami boków trójkąta, a $\gamma$ jest kątem między tymi bokami.

$P_{AFH}=\frac{1}{2}d\cdot e\cdot \sin{\alpha}$

$26.4=\frac{1}{2}d\cdot e\cdot \frac{12}{13}$

$d\cdot e=57,2$

Dla tegoż tójkąta zastosujmy twierdzenie cosinusów:

$c^2=d^2+e^2-2de\cos{\alpha}$

$c^2=d^2+e^2-2\cdot 57,2\cdot \cos{\alpha}$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}=1-(\frac{12}{13})^2-\frac{25}{169}$

Kat $\alpha$ jest katem ostrym, więc $\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$.

Mamy więc

$c^2=d^2+e^2-2\cdot 57,2\cdot \frac{5}{13}$

$c^2=d^2+e^2-44$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$c^2=a^2+b^2$

$d^2=h^2+a^2$

$e^2=h^2+b^2$

mamy:

$a^2+b^2=h^2+a^2+h^2+b^2-44$

$0=2h^2-44$

$h^2=22$

$h=\sqrt{22}$

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 24, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 21, matura 2015 (poziom podstawowy)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
wzór

Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. ∠HOL
B. ∠OGL
C. ∠HLO
D. ∠OHL

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 23, matura 2015 (poziom podstawowy)
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe :

A. $\frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)$
B. $8^2\cdot \sqrt{3}$
C. $\frac{8^2\sqrt{6}}{3}$
D. $8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 32, matura 2015 (poziom podstawowy)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2018

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√3. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

rysunek

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 25, matura 2022

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

A. $560\ cm^3$

B. $280\ cm^3$

C. $\frac{280}{3} cm^3$

D. $\frac{560}{3} cm^3$

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.