Nauka » Matematyka » Graniastosłup

Zadanie maturalne nr 32, matura 2015 (poziom podstawowy)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie zadania

Graniastosłup prawidłowy, to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, w naszym przypadku kwadrat. Wykonujemy szkic i wprowadzamy oznaczenia na rysunku. Zauważamy, że cosinus kąta alfa jest równy 3/5, co oznacza, że stosunek długości przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym do przeciwprostokątnej wynosi 3/5. Długości odpowiednich odcinków oznaczamy wiec przez 3x i 5x, wówczas stosunek 3x/5x będzie równy 3/5 i wyznaczymy jedną z szukanych długości.

szkic do zadania 32, matura 2015

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby wyznaczyć x.

Długość przekątnej podstawy to iloczyn a i pierwiastka z dwóch, a z drugiej strony 3x. Wartość x już znamy, możemy więc z tego warunku obliczyć a.

$a\sqrt{2}=3\cdot 4\\a=\frac{12}{\sqrt{2}}=\frac{12\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=6\sqrt{2}$

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa obliczymy dodając do siebie pola czterech ścian oraz dwa pola podstawy.

$P=4ah+2a^2=4\cdot 16\cdot 6\sqrt{2}+2(6\sqrt{2})^2=144+384\sqrt{2}$

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 24, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 21, matura 2015 (poziom podstawowy)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
wzór

Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. ∠HOL
B. ∠OGL
C. ∠HLO
D. ∠OHL

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 23, matura 2015 (poziom podstawowy)
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe :

A. $\frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)$
B. $8^2\cdot \sqrt{3}$
C. $\frac{8^2\sqrt{6}}{3}$
D. $8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2018

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√3. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

rysunek

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.