Zadanie maturalne nr 34, matura 2018
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√3. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie zadania
Graniastosłup prawidłowy to taki, który w podstawie ma figurę foremna, a więc w naszym przypadku trójkąt równoboczny.
Z powyższego wynika, że |AB|=|BC|=|AC|=a, a ponieważ pole podstawy jest równe polu ściany bocznej, więc wszystkie ściany tego graniastosłupa muszą mieć równe pola.
Pole powierzchni bocznej jest więc równe
\(P=5P_b=45\sqrt{3}\)
\(P_b=9\sqrt{3}\)
gdzie Pb jest polem dowolnej ściany.
Pole trójkąta równobocznego jest równe wyliczonemu wyżej polu dowolnej ściany graniastosłupa i dane jest wzorem:
\(P_{podstawy}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}/:\sqrt{3}\)
\(\frac{a^2}{4}=9/\cdot 4\)
\(a^2=36\)
\(a=6\)
Ponieważ ściana boczna jest prostokątem o bokach a i h i znamy jego pole, to możemy zapisać:
\(P_{boczne}=ah=9\sqrt{3}\)
\(6h=9\sqrt{3}/:6\)
\(h=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Objętość tej bryły wynosi:
\(V=P_{podstawy}\cdot h=9\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\cdot 3\cdot 3}{2}\)
\(V=\frac{81}{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-08, ZAD-4625
Zadania podobne
Zadanie maturalne nr 24, matura 2016 (poziom podstawowy)Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 21, matura 2015 (poziom podstawowy)W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. ∠HOL
B. ∠OGL
C. ∠HLO
D. ∠OHL
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 23, matura 2015 (poziom podstawowy)Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe :
A.
B.
C.
D.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 32, matura 2015 (poziom podstawowy)Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania