Zadanie maturalne nr 34, matura 2018
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√3. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie zadania
Graniastosłup prawidłowy to taki, który w podstawie ma figurę foremna, a więc w naszym przypadku trójkąt równoboczny.
Z powyższego wynika, że |AB|=|BC|=|AC|=a, a ponieważ pole podstawy jest równe polu ściany bocznej, więc wszystkie ściany tego graniastosłupa muszą mieć równe pola.
Pole powierzchni bocznej jest więc równe
\(P=5P_b=45\sqrt{3}\)
\(P_b=9\sqrt{3}\)
gdzie Pb jest polem dowolnej ściany.
Pole trójkąta równobocznego jest równe wyliczonemu wyżej polu dowolnej ściany graniastosłupa i dane jest wzorem:
\(P_{podstawy}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}/:\sqrt{3}\)
\(\frac{a^2}{4}=9/\cdot 4\)
\(a^2=36\)
\(a=6\)
Ponieważ ściana boczna jest prostokątem o bokach a i h i znamy jego pole, to możemy zapisać:
\(P_{boczne}=ah=9\sqrt{3}\)
\(6h=9\sqrt{3}/:6\)
\(h=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Objętość tej bryły wynosi:
\(V=P_{podstawy}\cdot h=9\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\cdot 3\cdot 3}{2}\)
\(V=\frac{81}{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-08, ZAD-4625
Zadania podobne

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Pokaż rozwiązanie zadania

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. ∠HOL
B. ∠OGL
C. ∠HLO
D. ∠OHL
Pokaż rozwiązanie zadania

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe :
A.

B.

C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Pokaż rozwiązanie zadania