Zadanie maturalne nr 34, matura 2018
Treść zadania:
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie zadania
Graniastosłup prawidłowy to taki, który w podstawie ma figurę foremna, a więc w naszym przypadku trójkąt równoboczny.
Z powyższego wynika, że |AB|=|BC|=|AC|=a, a ponieważ pole podstawy jest równe polu ściany bocznej, więc wszystkie ściany tego graniastosłupa muszą mieć równe pola.
Pole powierzchni bocznej jest więc równe
\(P=5P_b=45\sqrt{3}\)
\(P_b=9\sqrt{3}\)
gdzie Pb jest polem dowolnej ściany.
Pole trójkąta równobocznego jest równe wyliczonemu wyżej polu dowolnej ściany graniastosłupa i dane jest wzorem:
\(P_{podstawy}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}/:\sqrt{3}\)
\(\frac{a^2}{4}=9/\cdot 4\)
\(a^2=36\)
\(a=6\)
Ponieważ ściana boczna jest prostokątem o bokach a i h i znamy jego pole, to możemy zapisać:
\(P_{boczne}=ah=9\sqrt{3}\)
\(6h=9\sqrt{3}/:6\)
\(h=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Objętość tej bryły wynosi:
\(V=P_{podstawy}\cdot h=9\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\cdot 3\cdot 3}{2}\)
\(V=\frac{81}{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-08, ZAD-4625
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Zadanie nr 2 — maturalne.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E, G, L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. \(\angle HOL\)
B. \(\angle OGL\)
C. \(\angle HLO\)
D. \(\angle OHL\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
A. \(\frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)
B. \(8^2\cdot \sqrt{3}\)
C. \(\frac{8^2\sqrt{6}}{3}\)
D. \(8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy, pod kątem którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa
A. \(560\ cm^3\)
B. \(280\ cm^3\)
C. \(\frac{280}{3} cm^3\)
D. \(\frac{560}{3} cm^3\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\). Przekątne \(AH\) i \(AF\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha\) takiej, że \(\sin{\alpha}=\frac{12}{13}\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AFH\) jest równe 26,4. Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{3}\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A. \(15\sqrt{2}\)
B. \(45\)
C. \(5\sqrt{2}\)
D. \(10\)