Nauka » Matematyka » Graniastosłup

Zadanie maturalne nr 23, matura 2015 (poziom podstawowy)

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe :

A. $\frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)$
B. $8^2\cdot \sqrt{3}$
C. $\frac{8^2\sqrt{6}}{3}$
D. $8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)$

Rozwiązanie zadania

Szkicujemy graniastosłup prawidłowy o podstawie trójkąta i wprowadzamy odpowiednie oznaczenia. Zauważ, że wszystkie krawędzie mają taka sama długość. Podstawa tego graniastosłupa musi więc być trójkątem równobocznym, a ściany kwadratami:

Aby policzyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, musimy znać pole powierzchni ścian (tutaj są to kwadraty o boku długości 8) oraz podstaw (trójkąty równoboczne o boku długości 8). Obliczymy wysokość w tym trójkącie równobocznym z twierdzenia Pitagorasa:

$4^2+h^2=8^2\\h^2=64-16\\ h^2=48\\ h=\sqrt{48}\\ h=\sqrt{4^2\cdot 3}\\ h=4\sqrt{3}$

Obliczymy teraz pole podstawy:

$P_p=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$

Mamy dwie podstawy i trzy ściany. Pole powierzchni bocznej obliczamy następująco, doprowadzając wynik do odpowiedniej postaci:

$P=2P_p+3P_b=2\cdot 16\sqrt{3}+3\cdot 8^2=32\sqrt{3}+8^2\cdot3=\\=\frac{64}{2}\sqrt{3}+8^2\cdot3=8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)$

Odpowiedź

Odpowiedź D

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 24, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 21, matura 2015 (poziom podstawowy)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
wzór

Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. ∠HOL
B. ∠OGL
C. ∠HLO
D. ∠OHL

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 32, matura 2015 (poziom podstawowy)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania