Strona główna » Matematyka » Graniastosłup

zadanie

Zadanie maturalne nr 23, matura 2015 (poziom podstawowy)

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe :

A. $\frac{8^2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)$
B. $8^2\cdot \sqrt{3}$
C. $\frac{8^2\sqrt{6}}{3}$
D. $8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)$

Rozwiązanie zadania

Szkicujemy graniastosłup prawidłowy o podstawie trójkąta i wprowadzamy odpowiednie oznaczenia. Zauważ, że wszystkie krawędzie mają taka sama długość. Podstawa tego graniastosłupa musi więc być trójkątem równobocznym, a ściany kwadratami:

Szkic do zadania 23 matura 2015

Aby policzyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, musimy znać pole powierzchni ścian (tutaj są to kwadraty o boku długości 8) oraz podstaw (trójkąty równoboczne o boku długości 8). Obliczymy wysokość w tym trójkącie równobocznym z twierdzenia Pitagorasa:

$4^2+h^2=8^2\\h^2=64-16\\ h^2=48\\ h=\sqrt{48}\\ h=\sqrt{4^2\cdot 3}\\ h=4\sqrt{3}$

Obliczymy teraz pole podstawy:

$P_p=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$

Mamy dwie podstawy i trzy ściany. Pole powierzchni bocznej obliczamy następująco, doprowadzając wynik do odpowiedniej postaci:

$P=2P_p+3P_b=2\cdot 16\sqrt{3}+3\cdot 8^2=32\sqrt{3}+8^2\cdot3=\\=\frac{64}{2}\sqrt{3}+8^2\cdot3=8^2(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)$

Odpowiedź

Odpowiedź D

© medianauka.pl, 2016-12-11, ZAD-3321

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 24, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Ilustracja do zadania nr 24, matura z matematyki 2016, poziom podstawowy

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°

Zadanie maturalne nr 21, matura 2015 (poziom podstawowy)
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
wzór

wzór

Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. ∠HOL
B. ∠OGL
C. ∠HLO
D. ∠OHL

Zadanie maturalne nr 32, matura 2015 (poziom podstawowy)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Wychowanie kota

Wychowanie kota
Hannelore Grimm

Czy wiesz... Jaki to pająk?

Czy wiesz... Jaki to pająk?
Barbara Baehr, Martin Baehr

Elementy analizy matematycznej

Elementy analizy matematycznej
Maciej Bryński, Norbert Dróbka, Karol Szymański

Piękne pytanie. Odkrywanie głębokiej struktury świata

Piękne pytanie. Odkrywanie głębokiej struktury świata
Frank Wilczek

© Media Nauka 2008-2017 r.