Nauka » Matematyka » Kula i sfera

Zadanie - objętość kuli

Z trzech pełnych kul, każdej o promieniu 10 cm, przelano wodę do jednej kuli o promieniu 30 cm. W jakiej części większa kula zapełni się wodą?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$V_1=\frac{4}{3}\pi{R_1^3}=\frac{4}{3}\pi\cdot{(10\quad{cm})^3}=\frac{4000}{3}\pi\quad{cm^3}$
$V=\frac{4}{3}\pi{R^3}=\frac{4}{3}\pi\cdot{(30\quad{cm})^3}=36000\pi\quad{cm^3}$
$\frac{3V_1}{V}=\frac{4000\pi\quad{cm^3}}{36000\pi\quad{cm^3}}=\frac{1}{9}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Oznaczmy promień mniejszej kuli przez R₁, objętość mniejszej kuli przez V₁, promień większej kuli przez R, a jej objętość przez V.

Objętość kuli obliczamy ze wzoru:

$V=\frac{4}{3}\pi{R^3}$

Obliczamy pole mniejszej kuli. Podstawiamy R₁=10 cm do wzoru:

$V_1=\frac{4}{3}\pi{R_1^3}=\frac{4}{3}\pi\cdot{(10\quad{cm})^3}=\frac{4}{3}\pi\cdot{1000\quad{cm^3}}=\frac{4000}{3}\pi\quad{cm^3}$

W naszym przypadku do dużej kuli przelewamy zawartość (objętość) trzech takich kul. Łączna ich objętość wynosi:

$3V_{1}=\cancel{3}\cdot{\frac{4000}{\cancel{3}}\pi\quad{cm^3}}=4000\pi\quad{cm^3}$

Obliczamy teraz objętość większej kuli:

$V=\frac{4}{3}\pi{R^3}=\frac{4}{3}\pi\cdot{(30\quad{cm})^3}=\frac{4}{3}\pi\cdot{27000\quad{cm^3}}=9000\cdot{4}\pi\quad{cm^3}=36000\pi\quad{cm^3}$

Aby obliczyć w jakiej części duża kula zapełni się zawartością wystarczy, że obliczymy stosunek $\frac{3V_1}{V}$ :

$\frac{3V_1}{V}=\frac{4\cancel{000}\cancel{\pi}\quad\cancel{{cm^3}}}{36\cancel{000}\cancel{\pi}\cancel{\quad{cm^3}}}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

Odpowiedź

Większa kula zapełni się w 1/9 części.

Zadania podobne

Zadanie - pole powierzchni i objętość kuli
Obliczyć pole powierzchni i objętość kuli o średnicy 18 cm.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 22, matura 2018

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r
i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

rysunek

Objętość tej bryły jest równa

5/3πr³
4/3πr³
2/3πr³
1/3πr³

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.