Sfera i kula

Definicja

Sfera (powierzchnia kulista) o środku P i promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległości od pewnego punktu P przestrzeni są równe r, gdzie r jest długością danego niezerowego odcinka $\overline{r}$ . Oznaczenie sfery jest następujące: S(P,r).

Dowolny punkt, który należy do sfery nazywamy zwyczajnie punktem sfery. Środek sfery i promień nie należą do sfery. Odcinek łączący środek sfery z dowolnym punktem sfery jest promieniem tej sfery.

Sfera powstaje przy obrocie okręgu wokół jego średnicy o kąt pełny.

Definicja

Kula o środku P i promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległości od pewnego punktu P przestrzeni są nie większe od r, gdzie r jest długością danego niezerowego odcinka . Oznaczenie sfery jest następujące: K(P,r).

Sfera S(P,r) jest powierzchnią (brzegiem) kuli K(P,r). Promień tej sfery jest promieniem kuli. Średnicą kuli nazywamy odcinek, którego końce należą do sfery kuli i który przechodzi przez środek kuli.

Kula powstaje przy obrocie koła wokół jego średnicy o kąt pełny.

Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez środek kuli (patrz rysunek), to przecina ją i w przekroju (pole zakreskowane) otrzymujemy koło o promieniu równym promieniowi kuli. Jest to koło wielkie tej kuli. Każdy inny przekrój kuli (gdy płaszczyzna nie przechodzi przez środek kuli) daje koło o mniejszym promieniu lub punkt, gdy płaszczyzna przechodzi przez punkt sfery. O takiej płaszczyźnie mówimy, że jest styczna do kuli (sfery), a przekrój nazywamy punktem styczności.

Pole sfery

Twierdzenie

Pole sfery o promieniu R dane jest wzorem:

$S=4\pi R^2$

Objętość kuli

Twierdzenie

Objętość kuli o promieniu R dana jest wzorem:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

widać, że istnieje związek między objętością kuli a polem sfery o tym samym promieniu:

$V=S\cdot \frac{1}{3}R$

Zadanie

Dana jest kula o promieniu 3. Oblicz jej objętość i pole powierzchni.

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3=4\pi \cdot 3^2=36\pi\\ S=4\pi R^2=4\pi \cdot 3^2=36\pi$

Zauważ, że otrzymaliśmy ten sam wynik liczbowy. Czy zatem jest to prawidłowy wynik? Oczywiście że tak. Obie liczby są równe. Inne są jednak jednostki, w jakich wyrażona jest objętość i pole powierzchni.