Logo Serwisu Media Nauka

Sfera i kula

sfera

Definicja Definicja

Sfera (powierzchnia kulista) o środku P i promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległości od pewnego punktu P przestrzeni są równe r, gdzie r jest długością danego niezerowego odcinka \overline{r}. Oznaczenie sfery jest następujące: S(P,r).

Dowolny punkt, który należy do sfery nazywamy zwyczajnie punktem sfery. Środek sfery i promień nie należą do sfery. Odcinek łączący środek sfery z dowolnym punktem sfery jest promieniem tej sfery.

Sfera powstaje przy obrocie okręgu wokół jego średnicy o kąt pełny.

Definicja Definicja

kula

Kula o środku P i promieniu r jest to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległości od pewnego punktu P przestrzeni są nie większe od r, gdzie r jest długością danego niezerowego odcinka r. Oznaczenie sfery jest następujące: K(P,r).

Sfera S(P,r) jest powierzchnią (brzegiem) kuli K(P,r). Promień tej sfery jest promieniem kuli. Średnicą kuli nazywamy odcinek, którego końce należą do sfery kuli i który przechodzi przez środek kuli.

Kula powstaje przy obrocie koła wokół jego średnicy o kąt pełny.

koło wielkie kuli

Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez środek kuli (patrz rysunek), to przecina ją i w przekroju (pole zakreskowane) otrzymujemy koło o promieniu równym promieniowi kuli. Jest to koło wielkie tej kuli. Każdy inny przekrój kuli (gdy płaszczyzna nie przechodzi przez środek kuli) daje koło o mniejszym promieniu lub punkt, gdy płaszczyzna przechodzi przez punkt sfery. O takiej płaszczyźnie mówimy, że jest styczna do kuli (sfery), a przekrój nazywamy punktem styczności.

Pole sfery

Twierdzenie Twierdzenie

Pole sfery o promieniu R dane jest wzorem:

S=4\pi R^2

Objętość kuli

Twierdzenie Twierdzenie

Objętość kuli o promieniu R dana jest wzorem:

V=\frac{4}{3}\pi R^3

widać, że istnieje związek między objętością kuli a polem sfery o tym samym promieniu:

V=S\cdot \frac{1}{3}R

zadanie Zadanie

Dana jest kula o promieniu 3. Oblicz jej objętość i pole powierzchni.

V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^3=4\pi \cdot 3^2=36\pi\\ S=4\pi R^2=4\pi \cdot 3^2=36\pi

Zauważ, że otrzymaliśmy ten sam wynik liczbowy. Czy zatem jest to prawidłowy wynik? Oczywiście że tak. Obie liczby są równe. Inne są jednak jednostki, w jakich wyrażona jest objętość i pole powierzchni.


© medianauka.pl, 2011-07-23, ART-1393





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie 809 - pole powierzchni i objętość kuli
Obliczyć pole powierzchni i objętość kuli o średnicy 18 cm.

zadanie-ikonka Zadanie 810 - objętość kuli
Z trzech pełnych kul, każdej o promieniu 10 cm, przelano wodę do jednej kuli o promieniu 30 cm. W jakiej części większa kula zapełni się wodą?




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.