Nauka » Matematyka » Prostopadłościan

Zadanie maturalne nr 21, matura 2018

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek).

rysunek

Wysokość graniastosłupa jest równa

\(5\)
\(3\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{2}\)
\(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Rozwiązanie zadania

Policzymy najpierw długość przekątnej w podstawie graniastosłupa, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

\( 3^2+4^2=a^2 \)

\( a^2=9+16=25 \)

\( a=5 \)

Oznaczmy przez h wysokość graniastosłupa. Korzystając z definicji tangensa kąta w trójkącie prostokątnym mamy:

\( tg{45°}=\frac{h}{a} \)

\( tg{45°}=1=\frac{h}{5} \)

\( 1=\frac{h}{5}/\cdot 5 \)

h=5

Odpowiedź

Odpowiedź A

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 32, matura 2014

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1:2:3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2017 (poziom rozszerzony)

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).

Pokaż rozwiązanie zadania