Nauka » Matematyka » Prostopadłościan

Zadanie maturalne nr 32, matura 2014

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Rozwiązanie zadania

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Obliczamy pole powierzchni tego prostopadłościanu

P=2xy+2xz+2yz

Z założenia zadania 1:2:3 możemy uzyskać:

y=2x, z=3x

Podstawiamy powyższe zależności do wzoru na pole powierzchni:

P=2x·2x+2x·3x+2·2x·3z=4x²+6x²+12x²=22x²

z warunków zadania wiemy, że P=198. Stąd:

22x²=198/:22
x²=9
x=3
y=2x=6
z=3x=9

Obliczamy długość przekątnej podstawy p z twierdzenia Pitagorasa:

$p^2=x^2+y^2\\p=\sqrt{x^2+y^2}\\p=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Z tego samego twierdzenia obliczymy długość przekątnej d:

$d^2=p^2+z^2\\d=\sqrt{p^2+z^2}\\d=\sqrt{(3\sqrt{5})^2+9^2}=\sqrt{9(5+9)}=3\sqrt{14}$

Odpowiedź

$d=3\sqrt{14}$

Zadania podobne

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.