zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 32, matura 2014

Treść zadania:

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1:2:3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

rysunek

Obliczamy pole powierzchni tego prostopadłościanu

\(P=2xy+2xz+2yz\)

Z założenia zadania \(1:2:3\) możemy uzyskać:

\(y=2x, z=3x\)

Podstawiamy powyższe zależności do wzoru na pole powierzchni:

\(P=2x\cdot 2x+2x\cdot 3x+2\cdot 2x\cdot 3z=4x^2+6x^2+12x^2=22x^2\)

z warunków zadania wiemy, że \(P=198\). Stąd:

\(22x^2=198/:22\)

\(x^2=9\)

\(x=3\)

\(y=2x=6\)

\(z=3x=9\)

Obliczamy długość przekątnej podstawy \(p\) z twierdzenia Pitagorasa:

\(p^2=x^2+y^2\)

\(p=\sqrt{x^2+y^2}\)

\(p=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)

Z tego samego twierdzenia obliczymy długość przekątnej \(d\):

\(d^2=p^2+z^2\)

\(d=\sqrt{p^2+z^2}\\)

\(d=\sqrt{(3\sqrt{5})^2+9^2}=\sqrt{9(5+9)}=3\sqrt{14}\)

ksiązki Odpowiedź

\(d=3\sqrt{14}\)

© medianauka.pl, 2017-02-05, ZAD-3455

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek).

rysunek

Wysokość graniastosłupa jest równa

  1. \(5\)
  2. \(3\sqrt{2}\)
  3. \(5\sqrt{2}\)
  4. \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.