Zadanie - objętość czworościanu foremnego


Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego wysokość ma długość 2.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

Ostrosłupx=\frac{2}{3}h
x=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{\cancel{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a
a^2=H^2+x^2\\ a^2=2^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2\\ a^2=6\\ a=\sqrt{6}
V=\frac{1}{12}a^3\frac{2}=\frac{1}{12}\cdot(\sqrt{6})^3\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{12}\cdot 6\sqrt{6}\cdot sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Ostrosłup

Aby obliczyć objętość czworościanu musimy znać długość krawędzi a, skorzystamy wówczas ze wzoru:

V=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}

Gdybyśmy znali wielkość x zaznaczoną na rysunku, moglibyśmy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego wyznaczonego przez wysokość czworościanu, krawędź i odcinek x, a mianowicie:

a^2=H^2+x^2\\ H=2\\ a=?\\ x=?

Sporządzimy rysunek, który ilustruje podstawę czworościanu:

Rysunek pomocniczy

W podstawie czworościanu jest trójkąt równoboczny. Ponieważ mamy do czynienia z czworościanem foremnym spodek wysokości jest środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości trójkąta równobocznego dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Możemy więc napisać, że:

x=\frac{2}{3}h

Wysokość w trójkącie równobocznym obliczymy na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta stanowiącego połowę trójkąta równobocznego.

(\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\\ h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\\ h^2=\frac{3}{4}a^2\\ h=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}\\ h=\frac{\sqrt{3}a}{2}

Możemy już obliczyć x:

x=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{\cancel{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a

Możemy już wyznaczyć długość krawędzi a, korzystając z równania, które zapisaliśmy na samym początku rozwiązania zadania:

a^2=H^2+x^2\\ a^2=2^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2\\ a^2=4+\frac{3}{9}a^2\\ a^2-\frac{1}{3}a^2=4\\ \frac{2}{3}a^2=4/\cdot \frac{3}{2}\\ a^2=4\cdot \frac{3}{2}\\ a^2=6\\ a=\sqrt{6}

Obliczamy objętość:

V=\frac{1}{12}a^3\frac{2}=\frac{1}{12}\cdot(\sqrt{6})^3\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{12}\cdot 6\sqrt{6}\cdot sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{6\cdot 2}=\frac{1}{12}\sqrt{3\cdot 4}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}

ksiązki Odpowiedź

V=sqrt{3}

© medianauka.pl, 2011-10-22, ZAD-1505


Zadania podobne

kulkaZadanie - objętość i pole powierzchni czworościanu foremnego
Oblicz objętość i pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 2\sqrt{3}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - czworościan foremny
Narysować siatkę czworościanu foremnego o objętości 5 cm3.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - czworościan foremny - objętość
Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe 3. Jaka jest jego objętość?

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.