Strona główna » Matematyka » Czworościan foremny

Zadanie - objętość czworościanu foremnego

Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego wysokość ma długość 2.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x=\frac{2}{3}h$
$x=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{\cancel{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
$a^2=H^2+x^2\\ a^2=2^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2\\ a^2=6\\ a=\sqrt{6}$
$V=\frac{1}{12}a^3\frac{2}=\frac{1}{12}\cdot(\sqrt{6})^3\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{12}\cdot 6\sqrt{6}\cdot sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Aby obliczyć objętość czworościanu musimy znać długość krawędzi a, skorzystamy wówczas ze wzoru:

$V=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}$

Gdybyśmy znali wielkość x zaznaczoną na rysunku, moglibyśmy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego wyznaczonego przez wysokość czworościanu, krawędź i odcinek x, a mianowicie:

$a^2=H^2+x^2\\ H=2\\ a=?\\ x=?$

Sporządzimy rysunek, który ilustruje podstawę czworościanu:

W podstawie czworościanu jest trójkąt równoboczny. Ponieważ mamy do czynienia z czworościanem foremnym spodek wysokości jest środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości trójkąta równobocznego dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Możemy więc napisać, że:

$x=\frac{2}{3}h$

Wysokość w trójkącie równobocznym obliczymy na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta stanowiącego połowę trójkąta równobocznego.

$(\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\\ h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\\ h^2=\frac{3}{4}a^2\\ h=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}\\ h=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Możemy już obliczyć x:

$x=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{\cancel{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

Możemy już wyznaczyć długość krawędzi a, korzystając z równania, które zapisaliśmy na samym początku rozwiązania zadania:

$a^2=H^2+x^2\\ a^2=2^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2\\ a^2=4+\frac{3}{9}a^2\\ a^2-\frac{1}{3}a^2=4\\ \frac{2}{3}a^2=4/\cdot \frac{3}{2}\\ a^2=4\cdot \frac{3}{2}\\ a^2=6\\ a=\sqrt{6}$

Obliczamy objętość:

$V=\frac{1}{12}a^3\frac{2}=\frac{1}{12}\cdot(\sqrt{6})^3\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{12}\cdot 6\sqrt{6}\cdot sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{6\cdot 2}=\frac{1}{12}\sqrt{3\cdot 4}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$