Nauka » Matematyka » Czworościan foremny

Zadanie - objętość czworościanu foremnego

Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego wysokość ma długość 2.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x=\frac{2}{3}h$
$x=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{\cancel{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
$a^2=H^2+x^2\\ a^2=2^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2\\ a^2=6\\ a=\sqrt{6}$
$V=\frac{1}{12}a^3\frac{2}=\frac{1}{12}\cdot(\sqrt{6})^3\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{12}\cdot 6\sqrt{6}\cdot sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Aby obliczyć objętość czworościanu musimy znać długość krawędzi a, skorzystamy wówczas ze wzoru:

$V=\frac{1}{12}a^3\sqrt{2}$

Gdybyśmy znali wielkość x zaznaczoną na rysunku, moglibyśmy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego wyznaczonego przez wysokość czworościanu, krawędź i odcinek x, a mianowicie:

$a^2=H^2+x^2\\ H=2\\ a=?\\ x=?$

Sporządzimy rysunek, który ilustruje podstawę czworościanu:

W podstawie czworościanu jest trójkąt równoboczny. Ponieważ mamy do czynienia z czworościanem foremnym spodek wysokości jest środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości trójkąta równobocznego dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Możemy więc napisać, że:

$x=\frac{2}{3}h$

Wysokość w trójkącie równobocznym obliczymy na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta stanowiącego połowę trójkąta równobocznego.

$(\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\\ h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\\ h^2=\frac{3}{4}a^2\\ h=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}\\ h=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Możemy już obliczyć x:

$x=\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{\cancel{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

Możemy już wyznaczyć długość krawędzi a, korzystając z równania, które zapisaliśmy na samym początku rozwiązania zadania:

$a^2=H^2+x^2\\ a^2=2^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2\\ a^2=4+\frac{3}{9}a^2\\ a^2-\frac{1}{3}a^2=4\\ \frac{2}{3}a^2=4/\cdot \frac{3}{2}\\ a^2=4\cdot \frac{3}{2}\\ a^2=6\\ a=\sqrt{6}$

Obliczamy objętość:

$V=\frac{1}{12}a^3\frac{2}=\frac{1}{12}\cdot(\sqrt{6})^3\cdot \sqrt{2}=\frac{1}{12}\cdot 6\sqrt{6}\cdot sqrt{2}=\frac{1}{2}\sqrt{6\cdot 2}=\frac{1}{12}\sqrt{3\cdot 4}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$

Odpowiedź

Zadania podobne

Zadanie - objętość i pole powierzchni czworościanu foremnego
Oblicz objętość i pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości $2\sqrt{3}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - czworościan foremny
Narysować siatkę czworościanu foremnego o objętości 5 cm³.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - czworościan foremny - objętość
Pole powierzchni czworościanu foremnego jest równe 3. Jaka jest jego objętość?

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.