Zadania — kąty

Zadanie nr 1.

Przez punkty \(A, B\) na okręgu o promieniu \(r=2,5\) poprowadzono średnicę. Punkt \(D\) leży na okręgu tak, że \(|BD|=4\). Oblicz odległość \(|AD|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt \(A\) w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt \(A\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz miarę kąta \(alpha\), zaznaczonego na rysunku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć równanie dwusiecznej kątów wyznaczonych przez proste o równaniach \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\) i \(y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dany jest kąt 85°57'36''. Znaleźć jego miarę łukową.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Wyrazić w stopniach, minutach i sekundach kąt 23,255°.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dany jest kąt \(\frac{\pi}{8}\ rad\). Znaleźć jego miarę stopniową. Wynik wyrazić w stopniach i minutach.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 - maturalne.

Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BDC\) jest równa:

A. 91°

B. 72,5°

C. 18°

D. 32°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 - maturalne.

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20°\) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa:

A. \(5°\)

B. \(10°\)

C. \(20°\)

D. \(30°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 - maturalne.

Dwusieczne czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: \(P, Q, R, S\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że na czworokącie \(PQRS\) można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 - maturalne.

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa \(\frac{4}{9}\) długości okręgu, ma miarę:

A. \(160°\)

B. \(80°\)

C. \(40°\)

D. \(20°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 - maturalne.

Środek \(S\) okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym \(ABC\), o ramionach \(AC\) i \(BC\), leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że miara kąta wypukłego \(ASB\) jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego \(SBC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 - maturalne.

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leży punkt \(C\) (zobacz rysunek). Odcinek \(AB\) jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \(\alpha\) ma miarę:

A. \(m=116°

B. \(m=114°

C. \(m=112°

D. \(m=110°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 - maturalne.

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K, L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\), spełniają warunek \(\alpha +\beta=111°\). Wynika stąd, że

A. \(\alpha=74°\)

B. \(\alpha=76°\)

C. \(\alpha=70°\)

D. \(\alpha=72°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 - maturalne.

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy 2.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16 - maturalne.

Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny oraz \(|AC|>|BC|\). Dwusieczna \(d_C\) kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(K\). Punkt \(L\) jest obrazem punktu \(K\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_A\) kąta \(BAC\), punkt \(M\) jest obrazem punktu \(L\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_C\) kąta \(ACB\), a punkt \(N\) jest obrazem punktu \(M\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_B\) kąta \(ABC\) (zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie \(KNML\) można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17 - maturalne.

Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\).

A. \(\alpha=30°\)

B. \(\alpha<30°\)

C. \(\alpha>45°\)

D. \(\alpha=45°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18 - maturalne.

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19 - maturalne.

Punkty \(A, B, C, D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt środkowy \(DOC\) ma miarę 118° (zobacz rysunek).

Miara kąta ABC jest równa

A. 59°

B. 48°

C. 62°

D. 31°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20 - maturalne.

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ADB jest równa γ (zobacz rysunek).

Wtedy kąt ABD ma miarę

A. \(\frac{\alpha}{2}+\gamma−180°\)

B. \(180°-\frac{\alpha}{2}-\gamma\)

C. \(180°-\alpha-\gamma\)

D. \(\alpha+\gamma−180°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 21 - maturalne.

Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ACO\) ma miarę 70° (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa:

A. \(10°\)

B. \(20°\)

C. \(35°\)

D. \(40°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.