Strona główna » Matematyka » Dwusieczna kąta

Zadanie maturalne nr 9, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach:, Q, R, S (zobacz rysunek)
rysunek do zanaia 9, matura 2015

Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.

Rozwiązanie zadania

Wprowadzamy następujące oznaczenia:

Oznaczenia na rysunku

W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów wynosi 180°. Zatem

$2\alpha+2|\angle BCR|=180^{\circ}\\|\angle BCR|=\frac{180^{\circ}-2\alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha\\2\beta+2|\angle ADR|=180^{\circ}\\|\angle ADR|=\frac{180^{\circ}-2\beta}{2}=90^{\circ}-\beta$

Widać też, że:

$|\angle AQD|=180^{\circ}-(|\angle DAQ|+|\angle ADQ|)=180^{\circ}-(\alpha+(90^{\circ}-\beta))=90^{\circ}-\alpha+\beta\\|\angle BSC|=180^{\circ}-(|\angle BCR|+|\angle CBP|)=180^{\circ}-((90^{\circ}-\alpha)+\beta)=90^{\circ}+\alpha-\beta$

Mamy także:

$|\angle PQR|+|\angle PSR|=(90^{\circ}-\alpha +\beta)+(90^{\circ}+\alpha -\beta)=180^{\circ}$

Suma wszystkich kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 180°. To oznacza, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg, co kończy dowód.