Zadanie maturalne nr 9, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dwusieczne czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: \(P, Q, R, S\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że na czworokącie \(PQRS\) można opisać okrąg.
Rozwiązanie zadania
Wprowadzamy następujące oznaczenia:
W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów wynosi \(180°\). Zatem
\(2\alpha+2|\angle BCR|=180°\)
\(|\angle BCR|=\frac{180°-2\alpha}{2}=90°-\alpha\)
\(2\beta+2|\angle ADR|=180°\)
\(|\angle ADR|=\frac{180°-2\beta}{2}=90°-\beta\)
Widać też, że:
\(|\angle AQD|=180°-(|\angle DAQ|+|\angle ADQ|)=180°-(\alpha+(90°-\beta))=90°-\alpha+\beta\)
\(|\angle BSC|=180°-(|\angle BCR|+|\angle CBP|)=180°-((90°-\alpha)+\beta)=90°+\alpha-\beta\)
Mamy także:
\(|\angle PQR|+|\angle PSR|=(90°-\alpha +\beta)+(90°+\alpha -\beta)=180°\)
Suma wszystkich kątów czworokąta jest równa \(360°\), więc suma pozostałych dwóch kątów czworokąta \(PQRS\) także jest równa \(180°\). To oznacza, że na czworokącie \(PQRS\) można opisać okrąg, co kończy dowód.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2017-01-09, ZAD-3367
Zadania podobne
Zadanie - równanie dwusiecznej kątaZnaleźć równanie dwusiecznej kątów wyznaczonych przez proste o równaniach \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\) i \(y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\).
Pokaż rozwiązanie zadania