logo

Zadanie maturalne nr 9, matura 2015 (poziom rozszerzony)


Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach:, Q, R, S (zobacz rysunek)
rysunek do zanaia 9, matura 2015
Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.

ksiązki Rozwiązanie zadania

Wprowadzamy następujące oznaczenia:

Oznaczenia na rysunku

W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów wynosi 180°. Zatem

2\alpha+2|\angle BCR|=180^{\circ}\\|\angle BCR|=\frac{180^{\circ}-2\alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha\\2\beta+2|\angle ADR|=180^{\circ}\\|\angle ADR|=\frac{180^{\circ}-2\beta}{2}=90^{\circ}-\beta

Widać też, że:

|\angle AQD|=180^{\circ}-(|\angle DAQ|+|\angle ADQ|)=180^{\circ}-(\alpha+(90^{\circ}-\beta))=90^{\circ}-\alpha+\beta\\|\angle BSC|=180^{\circ}-(|\angle BCR|+|\angle CBP|)=180^{\circ}-((90^{\circ}-\alpha)+\beta)=90^{\circ}+\alpha-\beta

Mamy także:

|\angle PQR|+|\angle PSR|=(90^{\circ}-\alpha +\beta)+(90^{\circ}+\alpha -\beta)=180^{\circ}

Suma wszystkich kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 180°. To oznacza, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg, co kończy dowód.

ksiązki Odpowiedź

Odpowiedź A

© medianauka.pl, 2017-01-09, ZAD-3367

Zadania podobne

kulkaZadanie - dwusieczna kąta - konstukcja
Skonstruować dwusieczną kąta przedstawionego na rysunku.

dwusieczna kąta

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie dwusiecznej kąta
Znaleźć równanie dwusiecznej kątów wyznaczonych przez proste o równaniach y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2} i y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}.

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Matematyka olimpijska. Planimetria
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Kolorowe skarpetki - czarno-białe grochy
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
Matematyka dla menedżerów
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.