Nauka » Matematyka » Dwusieczna kąta

Zadanie - równanie dwusiecznej kąta

Znaleźć równanie dwusiecznej kątów wyznaczonych przez proste o równaniach $y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$ i $y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$ .

Rozwiązanie zadania

Wszystkie punkty dwusiecznej kąta mają taką samą odległość od ramion kąta. Ponieważ ramiona kąta pokrywają się z równaniami danych prostych, problem sprowadza się do zastosowania wzoru na odległość punktu od prostej , która wyrażona jest wzorem:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Trzeba zmienić postaci równań prostych z równań kierunkowych na postać występującą w powyższym wzorze:

$y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}/\cdot 4\\ 4y=-3x+2\\ 3x+4y-2=0$

Dla drugiej prostej:

$y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}/\cdot 3\\ 3y=4x+5\\ -4x+3y-5=0$

Odległość dowolnego punktu P=(x,y) dwusiecznej kąta od prostej $y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$ będzie więc równa:

$3x+4y-2=0\\ A=3, \ B=4,\ C=-2\\ P=(x,y)\\ d_1=\frac{|3x+4y-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3x+4y-2|}{\sqrt{25}}=\frac{|3x+4y-2|}{5}$

Odległość dowolnego punktu P=(x,y) dwusiecznej kąta od prostej $y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$ będzie więc równa:

$-4x+3y-5=0\\ A=-4, \ B=3,\ C=-5\\ P=(x,y)\\ d_2=\frac{|-4x+3y-5|}{\sqrt{(-4)^2+3^2}}=\frac{|-4x+3y-5|}{\sqrt{25}}=\frac{|-4x+3y-5|}{5}$

Jak wcześniej wspominano dla punktów dwusiecznej odległości te są równe, więc:

$d_1=d_2\\ \frac{|3x+4y-2|}{5}=\frac{|-4x+3y-5|}{5}/\cdot 5\\ |3x+4y-2|=|-4x+3y-5|$

Ponieważ mamy do czynienia z wartościami bezwzględnymi musimy rozpatrzyć kilka przypadków w zależności od wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną.

1) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną większych od zera lub równych zero możemy opuścić wartości bezwzględne (ponieważ mamy tutaj równanie z dwoma niewiadomymi warunek ten będzie spełniony dla wszystkich punktów jednego kąta z czterech wyznaczonego przez dwie proste):

$3x+4y-2=-4x+3y-5\\ 4y-3y=-4x-3x-5+2\\ y=-7x-3$

2) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną mniejszych od zera możemy opuścić wartości bezwzględne, jeżeli zmienimy znaki obu wyrażeń na przeciwne:

$-(3x+4y-2)=-(-4x+3y-5)/\cdot(-1)\\ 4y-3y=-4x-3x-5+2\\ y=-7x-3$

Otrzymaliśmy to samo równanie.

3) i 4) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną mniejszych od zera w jednym przypadku i większych lub równych zero w drugim przypadku (otrzymamy ten sam wynik) możemy opuścić wartości bezwzględne, jeżeli zmienimy znaki jednego z wyrażeń na przeciwny:

$-(3x+4y-2)=-4x+3y-5\\ -4y-3y=3x-4x-5-2\\ -7y=-x-7/:(-7)\\ y=\frac{1}{7}x+1$

Sprawdźmy nasze rozwiązanie, sporządzając szkic wykresu:

Dwusieczne kąta w układzie współrzędnych

Odpowiedź

$y=-7x-3, \ y=\frac{1}{7}x+1$

Zadania podobne

Zadanie - dwusieczna kąta - konstukcja
Skonstruować dwusieczną kąta przedstawionego na rysunku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 9, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach:, Q, R, S (zobacz rysunek)
rysunek do zanaia 9, matura 2015

Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.