Strona główna » Matematyka » Dwusieczna kąta

Zadanie - równanie dwusiecznej kąta

Znaleźć równanie dwusiecznej kątów wyznaczonych przez proste o równaniach $y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$ i $y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$ .

Rozwiązanie zadania

Wszystkie punkty dwusiecznej kąta mają taką samą odległość od ramion kąta. Ponieważ ramiona kąta pokrywają się z równaniami danych prostych, problem sprowadza się do zastosowania wzoru na odległość punktu od prostej , która wyrażona jest wzorem:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Trzeba zmienić postaci równań prostych z równań kierunkowych na postać występującą w powyższym wzorze:

$y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}/\cdot 4\\ 4y=-3x+2\\ 3x+4y-2=0$

Dla drugiej prostej:

$y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}/\cdot 3\\ 3y=4x+5\\ -4x+3y-5=0$

Odległość dowolnego punktu P=(x,y) dwusiecznej kąta od prostej $y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$ będzie więc równa:

$3x+4y-2=0\\ A=3, \ B=4,\ C=-2\\ P=(x,y)\\ d_1=\frac{|3x+4y-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3x+4y-2|}{\sqrt{25}}=\frac{|3x+4y-2|}{5}$

Odległość dowolnego punktu P=(x,y) dwusiecznej kąta od prostej $y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$ będzie więc równa:

$-4x+3y-5=0\\ A=-4, \ B=3,\ C=-5\\ P=(x,y)\\ d_2=\frac{|-4x+3y-5|}{\sqrt{(-4)^2+3^2}}=\frac{|-4x+3y-5|}{\sqrt{25}}=\frac{|-4x+3y-5|}{5}$

Jak wcześniej wspominano dla punktów dwusiecznej odległości te są równe, więc:

$d_1=d_2\\ \frac{|3x+4y-2|}{5}=\frac{|-4x+3y-5|}{5}/\cdot 5\\ |3x+4y-2|=|-4x+3y-5|$

Ponieważ mamy do czynienia z wartościami bezwzględnymi musimy rozpatrzyć kilka przypadków w zależności od wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną.

1) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną większych od zera lub równych zero możemy opuścić wartości bezwzględne (ponieważ mamy tutaj równanie z dwoma niewiadomymi warunek ten będzie spełniony dla wszystkich punktów jednego kąta z czterech wyznaczonego przez dwie proste):

$3x+4y-2=-4x+3y-5\\ 4y-3y=-4x-3x-5+2\\ y=-7x-3$

2) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną mniejszych od zera możemy opuścić wartości bezwzględne, jeżeli zmienimy znaki obu wyrażeń na przeciwne:

$-(3x+4y-2)=-(-4x+3y-5)/\cdot(-1)\\ 4y-3y=-4x-3x-5+2\\ y=-7x-3$

Otrzymaliśmy to samo równanie.

3) i 4) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną mniejszych od zera w jednym przypadku i większych lub równych zero w drugim przypadku (otrzymamy ten sam wynik) możemy opuścić wartości bezwzględne, jeżeli zmienimy znaki jednego z wyrażeń na przeciwny:

$-(3x+4y-2)=-4x+3y-5\\ -4y-3y=3x-4x-5-2\\ -7y=-x-7/:(-7)\\ y=\frac{1}{7}x+1$