Zadanie - równanie dwusiecznej kąta


Rozwiązanie zadania
Wszystkie punkty dwusiecznej kąta mają taką samą odległość od ramion kąta. Ponieważ ramiona kąta pokrywają się z równaniami danych prostych, problem sprowadza się do zastosowania wzoru na odległość punktu od prostej
, która wyrażona jest wzorem:

Trzeba zmienić postaci równań prostych z równań kierunkowych na postać występującą w powyższym wzorze:

Dla drugiej prostej:

Odległość dowolnego punktu P=(x,y) dwusiecznej kąta od prostej będzie więc równa:

Odległość dowolnego punktu P=(x,y) dwusiecznej kąta od prostej będzie więc równa:

Jak wcześniej wspominano dla punktów dwusiecznej odległości te są równe, więc:

Ponieważ mamy do czynienia z wartościami bezwzględnymi musimy rozpatrzyć kilka przypadków w zależności od wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną.
1) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną większych od zera lub równych zero możemy opuścić wartości bezwzględne (ponieważ mamy tutaj równanie z dwoma niewiadomymi warunek ten będzie spełniony dla wszystkich punktów jednego kąta z czterech wyznaczonego przez dwie proste):

2) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną mniejszych od zera możemy opuścić wartości bezwzględne, jeżeli zmienimy znaki obu wyrażeń na przeciwne:

Otrzymaliśmy to samo równanie.
3) i 4) Dla wartości wyrażeń pod wartością bezwzględną mniejszych od zera w jednym przypadku i większych lub równych zero w drugim przypadku (otrzymamy ten sam wynik) możemy opuścić wartości bezwzględne, jeżeli zmienimy znaki jednego z wyrażeń na przeciwny:

Sprawdźmy nasze rozwiązanie, sporządzając szkic wykresu:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-02-19, ZAD-1174
Zadania podobne

Skonstruować dwusieczną kąta przedstawionego na rysunku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach:, Q, R, S (zobacz rysunek)

Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.
Pokaż rozwiązanie zadania