Zadanie maturalne nr 29, matura 2019


Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

Rysunek

ksiązki Rozwiązanie zadania

Na rysunku wprowadzamy następujące oznaczenia:

Rysunek

Dany jest kąt |∠BCS|=α. Z treści zadania wynika, że trójkąt BCS jest równoramienny, gdyż |BS|=|BC|. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, zatem |∠BCS|=|∠BSC|=α.

Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc:

|∠SBC|=φ=180°-2α.

Kąty ∠ABS i ∠SBC są kątami przyległymi, a ich miara wynosi 180°. Zatem:

φ+β=180°

180°-2α+β=180°

β=2α.

Z treści zadania wynika, że trójkąt ABS jest równoramienny, gdyż |AS|=|BS|. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, zatem |∠SAB|=|∠SBA|=2α.

Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc:

δ=180°-2β=180°-4α

Kąty ∠ASD i ∠ASB i ∠BSC tworzą razem kąt półpełny. Zatem:

δ+γ+α=180°

180°-4α+γ+α=180°

γ=3α

To kończy nasz dowód.


© medianauka.pl, 2023-02-05, ZAD-4689

Zadania podobne

kulkaZadanie maturalne nr 17, matura 2014
Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę:

A. 160°
B. 80°
C. 40°
D. 20°

Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.