Zadanie maturalne nr 29, matura 2019
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

Rozwiązanie zadania
Na rysunku wprowadzamy następujące oznaczenia:
Dany jest kąt |∠BCS|=α. Z treści zadania wynika, że trójkąt BCS jest równoramienny, gdyż |BS|=|BC|. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, zatem |∠BCS|=|∠BSC|=α.
Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc:
|∠SBC|=φ=180°-2α.
Kąty ∠ABS i ∠SBC są kątami przyległymi, a ich miara wynosi 180°. Zatem:
φ+β=180°
180°-2α+β=180°
β=2α.
Z treści zadania wynika, że trójkąt ABS jest równoramienny, gdyż |AS|=|BS|. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, zatem |∠SAB|=|∠SBA|=2α.
Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc:
δ=180°-2β=180°-4α
Kąty ∠ASD i ∠ASB i ∠BSC tworzą razem kąt półpełny. Zatem:
δ+γ+α=180°
180°-4α+γ+α=180°
γ=3α
To kończy nasz dowód.
© medianauka.pl, 2023-02-05, ZAD-4689
Zadania podobne

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę:
A. 160°
B. 80°
C. 40°
D. 20°
Pokaż rozwiązanie zadania