Zadanie maturalne nr 29, matura 2019

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

Rozwiązanie zadania

Na rysunku wprowadzamy następujące oznaczenia:

Dany jest kąt |∠BCS|=α. Z treści zadania wynika, że trójkąt BCS jest równoramienny, gdyż |BS|=|BC|. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, zatem |∠BCS|=|∠BSC|=α.

Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc:

|∠SBC|=φ=180°-2α.

Kąty ∠ABS i ∠SBC są kątami przyległymi, a ich miara wynosi 180°. Zatem:

φ+β=180°

180°-2α+β=180°

β=2α.

Z treści zadania wynika, że trójkąt ABS jest równoramienny, gdyż |AS|=|BS|. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, zatem |∠SAB|=|∠SBA|=2α.

Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc:

δ=180°-2β=180°-4α

Kąty ∠ASD i ∠ASB i ∠BSC tworzą razem kąt półpełny. Zatem:

δ+γ+α=180°

180°-4α+γ+α=180°

γ=3α

To kończy nasz dowód.

© medianauka.pl, 2023-02-05, ZAD-4689

Zadania podobne