Logo Serwisu Media Nauka

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

Teoria W niniejszym artykule uogólnimy definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.

Niech dany będzie w układzie współrzędnych dowolny kąt skierowany o mierze α. Na końcowym ramieniu kąta obieramy dowolny punkt M, dla którego określamy odciętą x, rzędną y oraz promień wodzący r (patrz na poniższy rysunek):

kąt skierowany w układzie współrzędnych

Definicja Definicja

\sin{\alpha}=\frac{rzedna}{promien}=\frac{y}{r}\\ \cos{\alpha}=\frac{odcieta}{promien}=\frac{x}{r}\\ tg{\alpha}=\frac{rzedna}{odcieta}=\frac{y}{x}\\ ctg{\alpha}=\frac{odcieta}{rzedna}=\frac{x}{y}\\ \sec{\alpha}=\frac{promien}{odcieta}=\frac{r}{x}\\ cosec{\alpha}=\frac{promien}{rzedna}=\frac{r}{y}

Teoria Zauważmy, że funkcje sinus i cosinus są określone dla każdego kąta (r, które występuje w mianowniku jest zawsze różne od zera). Funkcje tangens i cotangens nie są określone dla wszystkich kątów. Funkcja tangens nie jest określona dla kąta 90°, bo wówczas x=0, a x jest w mianowniku.

Znak funkcji trygonometrycznych

Ponieważ r jest zawsze dodatnie, to:

  • znak funkcji sinus zależy od znaku rzędnej,
  • znak funkcji cosinus zależy od znaku odciętej,
  • znak funkcji tangens i cotangens jest dodatni, gdy rzędna i odcięta są tego samego znaku.

Zapiszemy w tabeli znaki poszczególnych funkcji trygonometrycznych w kolejnych ćwiartkach układu współrzędnych:

I ćwiartka90°II ćwiartka180°III ćwiartka270°IV ćwiartka360°
\sin{\alpha}0+1+0--1-0
\cos{\alpha}1+0--1-0+1
tg{\alpha}0+x-0+x-0
ctg{\alpha}x+0-x+0-x

Rysunek

Objaśnienia do tabelki

Jak wypełnić samemu powyższą tabelkę? Weźmy na przykład kąt 90° i II ćwiartkę układu współrzędnych. Zaczynamy od kąta 90°.(zobacz rysunek). Na ostatnim ramieniu kąta skierowanego o mierze 90° zaznaczono punkt M', którego rzędna jest równa y=r, natomiast odcięta x=0, więc:

\sin{90^o}=\frac{y}{r}=\frac{r}{r}=1
\cos{90^o}=\frac{x}{r}=\frac{0}{r}=0
tg{90^o}=\frac{y}{x}=\frac{y}{0} - funkcja nie jest określona
ctg{90^o}=\frac{x}{y}=\frac{0}{y}=0

Tak wyznaczone wartości zostały wpisane w kolumnę tabelki dla kąta 90°.

Teoria Teraz wyznaczymy znaki funkcji trygonometrycznych w II ćwiartce. Na końcowym ramieniu kąta o mierze α zaznaczono punkt M, dla którego określamy x, y, r. Widać, że x<0, y>0, r>0, więc:

\sin{\alpha}=\frac{y}{r}>0\\\cos{\alpha}=\frac{x}{r}<0\\tg{\alpha}=\frac{y}{x}<0\\ctg{\alpha}=\frac{x}{y}<0

Tak wyznaczone znaki wpisujemy do tabelki.


© medianauka.pl, 2011-03-25, ART-1261





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 14, matura 2015 (poziom podstawowy)
Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy:
wzór

A. wzór
B. -4/5
C. -1
D. -5/4




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.