Zadanie — pływanie ciał
Treść zadania:
Drewniana skrzynka w kształcie prostopadłościanu ma objętość \(0{,}050\ \text{m}^3\) i masę \(30\ \text{kg}\). Skrzynka pływa na powierzchni wody.
Oblicz:
- objętość zanurzonej części skrzynki,
- jaki procent objętości skrzynki znajduje się pod wodą,
- jaką maksymalną masę ładunku można włożyć do skrzynki, aby jej górna krawędź znajdowała się dokładnie na poziomie powierzchni wody.
Przyjmij:
\(\rho_w=1000\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\)
\(g=10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)
Załóż, że do wnętrza skrzynki nie dostaje się woda.
Rozwiązanie zadania
Dane:
\(V_c=0{,}050\ \text{m}^3\)
\(m_s=30\ \text{kg}\)
\(\rho_w=1000\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\)
\(g=10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)
1. Objętość zanurzonej części skrzynki
Skrzynka pływa w równowadze, dlatego siła wyporu jest równa sile ciężkości:
\(F_w=F_g\)
Korzystamy ze wzorów:
\(F_w=\rho_wV_zg\)
\(F_g=m_sg\)
Otrzymujemy:
\(\rho_wV_zg=m_sg\)
Skracamy obie strony równania przez \(g\):
\(\rho_wV_z=m_s\)
Wyznaczamy objętość zanurzonej części skrzynki:
\(V_z=\frac{m_s}{\rho_w}\)
Podstawiamy dane:
\(V_z=\frac{30\ \text{kg}}{1000\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}}\)
\(V_z=0{,}030\ \text{m}^3\)
2. Procent objętości znajdującej się pod wodą
Obliczamy stosunek objętości zanurzonej do całkowitej objętości skrzynki:
\(\frac{V_z}{V_c}=\frac{0{,}030}{0{,}050}=0{,}6\)
\(0{,}6\cdot 100\%=60\%\)
Pod wodą znajduje się \(60\%\) objętości skrzynki.
3. Maksymalna masa ładunku
Gdy górna krawędź skrzynki znajduje się dokładnie na poziomie powierzchni wody, zanurzona jest cała jej objętość:
\(V_z=V_c=0{,}050\ \text{m}^3\)
Maksymalna siła wyporu wynosi wtedy:
\(F_{w\ \text{max}}=\rho_wV_cg\)
W stanie równowagi maksymalna siła wyporu jest równa ciężarowi skrzynki wraz z ładunkiem:
\(\rho_wV_cg=(m_s+m_\ell)g\)
Skracamy równanie przez \(g\):
\(\rho_wV_c=m_s+m_\ell\)
Wyznaczamy masę ładunku:
\(m_\ell=\rho_wV_c-m_s\)
Podstawiamy dane:
\(m_\ell=1000\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 0{,}050\ \text{m}^3-30\ \text{kg}\)
\(m_\ell=50\ \text{kg}-30\ \text{kg}\)
\(m_\ell=20\ \text{kg}\)
Odpowiedź
Objętość zanurzonej części pustej skrzynki wynosi \(0{,}030\ \text{m}^3\), czyli pod wodą znajduje się \(60\%\) jej objętości.
Do skrzynki można włożyć maksymalnie \(20\ \text{kg}\) ładunku, aby jej górna krawędź znajdowała się dokładnie na poziomie powierzchni wody. Dodanie większej masy spowodowałoby zanurzenie górnej krawędzi i mogłoby doprowadzić do nalania się wody do skrzynki.
© medianauka.pl, 2026-07-19, ZAD-5170/28315
Zadania podobne
Brak powiązanych zadań.
