Logo Media Nauka

Ciśnienie gazu doskonałego

Jeżeli przeanalizujemy zachowanie się cząsteczek gazu doskonałego w zamkniętym naczyniu, to możemy w dość prosty sposób wyprowadzić wzór na ciśnienie, jakie wywierają cząsteczki tego gazu na ścianki naczynia.

Można wykazać, że ciśnienie p wywierane przez gaz doskonały o N cząsteczkach o masie m zależy od kwadratu prędkości średniej cząsteczek gazu w naczyniu o objętości V:

p=\frac{mN\overline{v}^2}{3V}

Poniżej znajdziesz wyprowadzenie powyższego wzoru.

Symulacja

Poniżej znajduje się symulacja cząsteczek gazu zamkniętego w sześciennym, szczelnym pojemniku. Cząstki zderzają się ze sobą i ściankami naczynia sprężyście. Zmieniaj różne parametry układu i sprawdź, jak zmienia się ciśnienie. Po zmianie parametrów odczekaj chwilę, aż układ ustabilizuje się.

Spróbuj na podstawie powyższej symulacji odpowiedzieć na następujące pytania:

  • Czy ciśnienie zależy od prędkości cząsteczek gazu?
  • Czy ciśnienie zależy od masy cząsteczek gazu?
  • Czy ciśnienie zależy od wielkości naczynia?
  • Czy ciśnienie zależy od ilości gazu w naczyniu?
  • Czy ciśnienie zależy od gęstości gazu w naczyniu?

Spróbuj też narysować wykresy powyższych zależności przyjmując umowne jednostki. Będziesz mógł stwierdzić zależność wprost proporcjonalną, odwrotnie proporcjonalną lub inną.

Wyprowadzenie

Niech a oznacza długość krawędzi sześciennego naczynia z gazem, V - jego objętość, p - pęd pojedynczej cząstki gazu doskonałego, v - jej prędkość. Jeżeli obierzemy układ odniesienia w dolnym narożniku sześciennego pojemnika i przeanalizujemy ruch jednej cząstki wzdłuż osi x, to przy uderzeniu o ściankę naczynia składowa x prędkości zmieni znak po zderzeniu. Możemy wówczas obliczyć w następujący sposób zmianę pędu cząstki gazu:

Δp=pkońcowy x-ppoczątkowy x=-mvx-mvx= -2mvx

Taki sam pęd z przeciwnym znakiem (czyli 2mvx) uzyska ścianka naczynia. Jednocześnie prędkość cząsteczki, która przebywa drogą od ścianki do ścianki i z powrotem (między kolejnymi zderzeniami) wynosi vx= 2a/Δt, skąd czas między zderzeniami wynosi Δt = 2a/vx.

Zmiana pędu ścianki naczynia w jednostce czasu to zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona siła, jaka działa na tę ściankę:

F=Δp/Δt = 2mvx/Δt = 2mvx/( 2a/vx) = mvx2/a.

Obliczmy ciśnienie wywierane na ściankę przez tę jedną cząsteczkę gazu (jest to siła wywierana na powierzchnię ścianki bocznej o polu a2):

p1 = F/a2= mvx2/a3= mvx2/V.

Jeżeli cząstek mamy N, to ciśnienie wywierane na badaną ściankę będzie sumą wszystkich ciśnień wywieranych na tę ściankę przez wszystkie cząsteczki:

p1 + p1 + ... + pN= mv1x2/V + mv2x2/V + ... + mvNx2/V = m/V ( v1x2 + v2x2 + ... + vNx2 )

Prawdopodobieństwo, że jedna cząsteczka z N cząstek ma prędkość v1 wynosi 1/N.

Zatem:

vx2= 1/N( v1x2 + v2x2 + ... + vNx2 )

Ponieważ jednym z założeń gazu doskonałego jest jego przypadkowy i chaotyczny ruch, to wszystkie składowe prędkości średnich muszą być jednakowe, a prędkość średnia będzie równa:

v^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{i}^{2}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{(v_{xi}^{2}+v_{yi}^{2}+v_{zi}^{2})}=\\=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{xi}^{2}}+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{yi}^{2}}+\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{zi}^{2}}=\frac{3}{N}\sum_{i=1}^{N}{v_{xi}^{2}}

Zatem wstawiając powyższe do wzoru na wyznaczone wcześniej ciśnienie otrzymujemy:

p=\frac{mN\overline{v}^2}{3V}


© medianauka.pl, 2019-10-17, ART-3698

 

Jaką temperaturę ma próżnia?

Jaką temperaturę ma próżnia?

Jaka jest temperatura próżni, skoro nie ma w niej cząstek? Czy istnieje w naturze zero absolutne? Czy istnieje idealna próżnia?





Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.