Kolejność wykonywania działań

Odpowiedz szybko: ile jest dwa plus dwa razy dwa? Czy znasz wynik? Sprawdź, czy bliscy i znajomi odpowiedzą tak samo. Bardzo wielu z nich odpowie, że 8. Jednak odpowiedź jest inna — o dwa mniejsza.

Zasady

Obowiązują następujące zasady kolejności wykonywania działań:

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, wewnątrz których nie ma już innych nawiasów.
Jeżeli w wyrażeniu nie ma nawiasów, wykonujemy kolejno:
1. potęgowanie i pierwiastkowanie w kolejności ich występowania,
2. mnożenie i dzielenie w kolejności ich występowania,
3. dodawanie i odejmowanie, w kolejności ich występowania.

To dlatego \(2+2\cdot 2=2+4=6\).

Przykłady

Oto kilka przykładów w zakresie kolejności wykonywania działań matematycznych:

\(2\cdot 4:2+13-4:2\cdot 8 = 8:2+13-2\cdot 8 = 4+13-16 = 1\)
\(2(30-20:5)+2(30-2\cdot 10)-1 = 2(30-4)+2(30-20)-1 = 2\cdot 26+2\cdot 10-1 = 52+20-1 = 71\)
\(\lbrace2-[(3+2\cdot 7)-7]\rbrace+2(2+15:5) = {2-[(3+14)-7]}+2(2+3) = {2-[17-7]}+2\cdot 5 = (2-10)+10 = -8+10 = 2\)
\(2+2^2·3=2+4·3=2+12=14\)
\((1+2)^2=3^2=9\)

Kształt nawiasu nie ma znaczenia przy ustalaniu kolejności działań. Możemy stosować jedynie nawiasy okrągłe „()”, ale dla kolejnych zewnętrznych nawiasów, w celu uwidocznienia grup wyrażeń stosuje się nawias kwadratowy — „[]” oraz klamry — „{}”.

Warto zwrócić uwagę, że iloczyn nie ma pierwszeństwa przed ilorazem, ani suma przed różnicą — decyduje tutaj wyłącznie kolejność ich występowania w wyrażeniu.

Pytania

Jaka jest kolejność wykonywania działań na ułamkach?

Obowiązują te same zasady co dla innych liczb. W przypadku ułamków zwykłych należy pamiętać, że kreska ułamkowa jest w rzeczywistości znakiem dzielenia i jeżeli mamy do czynienia z dodawaniem ułamków, opisana wyżej zasada każde nam najpierw wykonać dzielenie, a potem dodawanie. Jednak korzystanie ze wzorów działań na ułamkach nie burzy tej zasady. Można je spokojnie stosować. A co zrobić w takim przypadku: \(1+\frac{1}{2}\) ?

Powinniśmy najpierw wykonać dzielenie, a później dodawanie, prawda? W takim i wielu innych przypadkach możemy zamienić liczby całkowite na ułamki lub ułamki zwykłe na dziesiętne i spokojnie wykonywać dalsze działania. \(1+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\) lub \(1+\frac{1}{2}=1+0,5=1,5\)

Co jest pierwsze? Najpierw dodawanie, czy odejmowanie?

Oba działania są równorzędne w zakresie kolejności ich wykonywania. Zatem wykonujemy je według kolejności ich występowania.