Skrócenie Lorentza

Skrócenie Lorentza albo inaczej kontrakcja długości jest to w mechanice relatywistycznej zjawisko skracania odległości mierzonej w różnych układach odniesienia, będących względem siebie w ruchu.

W mechanice klasycznej mierzenie długości jest jednoznaczne w każdym układzie odniesienia. Mówimy, że odległość ma charakter absolutny.

W mechanice relatywistycznej odległość nie jest wielkością absolutną, zależy od układu odniesienia, w którym wykonujemy pomiar. Z im większa prędkością poruszają się względem siebie układy odniesienia, tym większe różnice powstaną w pomiarze odległości między dwoma punktami.

Skrócenie Lorentza wynosi:

$\Delta x=\Delta x'\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$

Zauważmy, że jeżeli tylko prędkość poruszania się jednego układu względem drugiego nie jest zerowa (u>0), to zawsze mamy do czynienia ze skróceniem odległości między dwoma punktami w układzie obserwatora, względem którego poruszają się te dwa punkty, a między którymi mierzymy tę odległość. To jest właśnie skrócenie Lorentza, wynikające wprost z transformacji Lorentza.

Zjawisko to ilustruje poniższy rysunek. Obserwator w układzie U' zobaczy kulistą piłkę. Inny obserwator, znajdujący się w układzie U będzie tę samą piłkę postrzegał jako jajowaty twór. Ten sam obiekt - dwie różne obserwacje.

Ciekawostki

Jeżeli układ odniesienia z dwoma punktami porusza się wzdłuż naszego układu odniesienia wzdłuż osi OX, to skracają się jedynie wymiary wzdłuż tej osi. Jeżeli więc w tym przypadku skraca się długość, to wysokość i szerokość pozostają bez zmian!

Przykład

Pan Jan zmierzył stojąc na ulicy długość parasola (poziomo) i otrzymał wynik 70 cm. O ile zmieni się wynik, gdy pan Jan spróbuje zmierzyć go, gdy jego parasol odjedzie taksówką z prędkością 60 km/h, leżąc poziomo na tylnym siedzeniu? Jaki wynik uzyska siedząc w tej taksówce? Z jaką prędkością musiałby się poruszać samochód, aby długość parasola wynosiła 69 cm?

Rozwiązanie

Wykonując pomiar na ulicy i w taksówce Pan Jan otrzyma ten sam wynik, gdyż w obu przypadkach parasol nie porusza się względem niego. W przypadku, gdy parasol odjeżdża w samochodzie mamy do czynienia ze skróceniem Lorentza. Podstawmy dane:

Δx'=70 cm

u=60 km/h≈16,67 m/s

u²≈277,78 m²/s²

c²≈8,988·10¹⁶ m²/s²

u²/c²≈3,09·10^-15

Zatem

1-u²/c²≈0,999 999 999 999 997

Pierwiastek z tej wielkości jest jeszcze mniejszą liczbą, zatem pan Jan nie zauważy w ogóle zmniejszenia długości parasola przy tak małej prędkości taksówki. Nie zdoła tego nawet zmierzyć.

To z jaką prędkością musiałby się poruszać nasz samochód, aby zauważyć centymetrowe skrócenie długości?

Przekształćmy nasz wzór:

$\Delta x=\Delta x'\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}/:\Delta x'\\ \frac{\Delta x}{\Delta x'}=\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}/^2\\ (\frac{\Delta x}{\Delta x'})^2=1-\frac{u^2}{c^2}\\ \frac{u^2}{c^2}=1-(\frac{\Delta x}{\Delta x'})^2 / \cdot c^2 \\ u^2=c^2[1-(\frac{\Delta x}{\Delta x'})^2]\\ u=c\sqrt{1-(\frac{\Delta x}{\Delta x'})^2}$

Podstawiając dane:

Δx/Δx' =0,9857,

c ≈ 300 000 km/s,

otrzymamy:

v ≈ 0,1685 c ≈ 50 553 km/s.

To sporo jak na samochód.

Jednak w świecie cząstek elementarnych jak i w kosmosie prędkości relatywistyczne nie należą do rzadkości.

Pytania

Ile wynosi skrócenie Lorentza dla prędkości światła?

Wprost ze wzoru wynika, że Δx=0!

Dylatacja czasu

Dylatacja czasu jest to w mechanice relatywistycznej zjawisko wydłużania czasu między dwoma zdarzeniami w układzie odniesienia, względem którego ciało się porusza, w odniesieniu do pomiaru upływu czasu w układzie, w którym dane ciało spoczywa.

Transformacja Lorentza

Dla prędkości relatywistycznych, czyli zbliżonych do prędkości światła obowiązuje transformacja Lorentza.