Transformacja Lorentza

Jeden z postulatów szczególnej teorii względności jest następujący:

Prędkość światła w próżni jest stała, niezależna od układu odniesienia.

To stoi w sprzeczności z mechaniką klasyczną! Przykład, który świetnie ilustruje tę sprzeczność znajdziesz na końcu tego artykułu.

Jeżeli chcemy opisać ilościowo prawa ruchu w innym układzie odniesienia niż nasz, musimy uwzględnić ruch jednego układu względem drugiego w formułowaniu wzorów. Związki pomiędzy wielkościami fizycznymi w dwóch różnych układach inercjalnych noszą nazwę transformacji.

W transformacji Galileusza czas płynie jednakowo we wszystkich układach odniesienia (t=t'), a ruch jednego układu odniesienia względem drugiego jest znacząco mniejszy od prędkości światła. Dla prędkości relatywistycznych, czyli zbliżonych do prędkości światła obowiązuje transformacja Lorentza.

Jeżeli układ odniesienia U', w którym współrzędne punktu opisane są przez P_t'=(x',y',z',t'), porusza się z prędkością u względem układu U wzdłuż osi OX, a c jest prędkością światła w próżni, to między tymi współrzędnymi zachodzą związki:

$x'=\gamma(x-ut)\\ y'=y\\ z'=z \\t'=\gamma(t-\frac{u}{c^2}x)\\ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

Powyższe wzory umożliwiają przejście między układem U do U'.

$x=\gamma(x'+ut')\\ y=y'\\ z=z' \\t=\gamma(t'+\frac{u}{c^2}x')\\ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

Powyższe wzory umożliwiają przejście w opisie zjawisk między układem U' do U.

Najbardziej zaskakujące jest to, że w obu układach czas płynie inaczej! Jak się dalej okaże, konsekwencji przyjęcia za postulat niezmienniczości prędkości światła od układu odniesienia jest znacznie więcej.

A teraz obiecany przykład.

Przykład

Spójrz na rysunek.

Prędkość światła jest stała

Jeżeli Elvis 1 jedzie na dachu pociągu, który gna z prędkością 100 km/h i świeci latarkami w kierunku ruchu i w kierunku przeciwnym, to jakie zmierzy prędkości fotonów, które wydobywają się z latarek? W obu przypadkach będzie to prędkość taka sama, równa prędkości, z jaką porusza się światło. Co jednak zmierzy Elvis 2? Przecież lewy słup światła oddala się od Elvisa 2 z prędkością z jaką porusza się pociąg. Prędkość słupa światła powinna być zatem większa (c+v?). A co ze słupem światła, który biegnie w prawo? Tu odwrotnie. Prędkość wydaje się mniejsza (c-v?). I tu zaczyna się magia szczególnej teorii względności. Każdy pomiar prędkości światła da identyczny wynik! Jest to bardzo dobry przykład na to, aby Elvis 2 zastosował transformację Lorentza dla opisu zjawisk w układzie pędzącego pociągu, w którym czas płynie nieco inaczej niż dla Elvisa 2.

Dylatacja czasu

Dylatacja czasu jest to w mechanice relatywistycznej zjawisko wydłużania czasu między dwoma zdarzeniami w układzie odniesienia, względem którego ciało się porusza, w odniesieniu do pomiaru upływu czasu w układzie, w którym dane ciało spoczywa.

Skrócenie Lorentza

Skrócenie Lorentza albo inaczej kontrakcja długości jest to w mechanice relatywistycznej zjawisko skracania odległości mierzonej w różnych układach odniesienia, będących względem siebie w ruchu.

Relatywistyczne dodawanie prędkości

W jaki sposób dodawać do siebie prędkości relatywistyczne?

Transformacja Galileusza

Opis transformacji Galileusza dla układów inercjalnych.