Zadanie maturalne nr 35, matura 2022


Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(−5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skoro punkty A i B należą do wykresu naszej funkcji, to współrzędne tych punktów spełniają jej równanie:

\(\begin{cases}0=a\cdot(-5)^2+b\cdot (-5)+c \\ 0=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c\end{cases}\)

\(\begin{cases}0=25a-5b+c \\ 0=9a+3b+c\end{cases}\)

Odejmując stronami powyższe równania, otrzymamy:

\(16a-8b=0/:8\)

\(2a-b=0\)

\(b=2a\)

Nasza parabola ma jeden punkt wspólny z prostą o równaniu \(y=6\). Jedynym takim przypadkiem jest przejście tej prostej przez wierzchołek paraboli. W innych przypadków prosta nie miałaby żadnych punktów wspólnych, albo miałaby dwa punkty wspólne.

Współrzędna \(y\) wierzchołka paraboli jest więc równa:

\(y_w=6\)

\(-\frac{\Delta}{4a}=6\)

\(-\frac{b^2-4ac}{4a}=6\)

\(-\frac{(2a)^2-4ac}{4a}=6\)

\(\frac{-4a^2+4ac}{4a}=6\)

\(\frac{4a(-a+c}{4a}=6\)

\(-a+c=6\)

\(c=6+a\)

Powyższą wartość wstawiamy do jednego z równań układu zdefiniowanego na początku rozwiązania zadania:

\(9a+3b+c=0\)

\(9a+3\cdot 2a+a+6=0\)

\(16a=-6\)

\(a=-\frac{6}{16}\)

\(a=-\frac{3}{8}\)

\(b=2\cdot(-\frac{3}{8})=-\frac{3}{4}\)

\(c=a+6=-\frac{3}{8}+6=\frac{45}{8}\)

ksiązki Odpowiedź

\(a=-\frac{3}{8}\)

\(b=-\frac{3}{4}\)

\(c=\frac{45}{8}\)


© medianauka.pl, 2023-04-26, ZAD-4878

Zadania podobne

Zapytanie nie zostało wykonane poprawnie!




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.