Zadanie — środek masy
Treść zadania:
W układzie współrzędnych znajdują się cztery punkty materialne o jednakowych masach. Każdy punkt ma masę \(3\ \text{kg}\) rozłożone tak, jak ilustruje to poniższy rysunek.
Znaleźć wektor położenia środka masy tego układu.
Rozwiązanie zadania
Dane:
\(m_1=m_2=m_3=m_4=3\ \text{kg}\)
Z rysunku odczytujemy współrzędne punktów:
\(m_1:\ x_1=-1\ \text{m},\ y_1=-1\ \text{m}\)
\(m_2:\ x_2=4\ \text{m},\ y_2=0\ \text{m}\)
\(m_3:\ x_3=1\ \text{m},\ y_3=4\ \text{m}\)
\(m_4:\ x_4=4\ \text{m},\ y_4=3\ \text{m}\)
Zatem wektory położenia tych punktów względem początku układu współrzędnych wynoszą:
\(\vec{r_1}=(-1,\ -1)\ \text{m}\)
\(\vec{r_2}=(4,\ 0)\ \text{m}\)
\(\vec{r_3}=(1,\ 4)\ \text{m}\)
\(\vec{r_4}=(4,\ 3)\ \text{m}\)
Szukane:
\(\vec{r_s}=?\)
Rozwiązanie:
Wektor położenia środka masy układu punktów materialnych obliczamy ze wzoru:
\(\vec{r_s}=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}+m_3\vec{r_3}+m_4\vec{r_4}}{m_1+m_2+m_3+m_4}\)
Ponieważ wszystkie masy są jednakowe, środek masy znajduje się w punkcie, którego współrzędne są średnią arytmetyczną współrzędnych wszystkich punktów.
Obliczamy współrzędną \(x_s\):
\(x_s=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\)
\(x_s=\frac{-1+4+1+4}{4}\)
\(x_s=\frac{8}{4}\)
\(x_s=2\ \text{m}\)
Obliczamy współrzędną \(y_s\):
\(y_s=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}\)
\(y_s=\frac{-1+0+4+3}{4}\)
\(y_s=\frac{6}{4}\)
\(y_s=1{,}5\ \text{m}\)
Zatem wektor położenia środka masy wynosi:
\(\vec{r_s}=(2,\ 1{,}5)\ \text{m}\)
Odpowiedź
Po odczytaniu współrzędnych punktów z rysunku otrzymujemy, że środek masy układu znajduje się w punkcie o współrzędnych \(x_s=2\ \text{m}\), \(y_s=1{,}5\ \text{m}\).
Wektor położenia środka masy wynosi:
\(\vec{r_s}=(2,\ 1{,}5)\ \text{m}\)
© medianauka.pl, , ZAD-5100/
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Na lekkim pręcie znajdują się dwie kulki. Pierwsza kulka ma masę \(m_1=2\ \text{kg}\) i znajduje się w punkcie \(x_1=0\ \text{m}\). Druga kulka ma masę \(m_2=6\ \text{kg}\) i znajduje się w punkcie \(x_2=4\ \text{m}\). Oblicz położenie środka masy tego układu.
