Zadanie — Uogólniona postać drugiej zasady dynamiki
Treść zadania:
Rakieta startuje pionowo z powierzchni Ziemi. Jej masa początkowa jest podobna do masy rakiety Saturn V i wynosi \(m_0=2{,}8\cdot 10^6\ \text{kg}\).
W uproszczonym modelu przyjmujemy, że w czasie pracy silników masa rakiety maleje liniowo na skutek spalania paliwa:
\(m(t)=2{,}8\cdot 10^6-1600t\)
gdzie \(t\) oznacza czas w sekundach, a masa jest wyrażona w kilogramach.
Zakładamy też, że w czasie \(500\ \text{s}\) rakieta zwiększa swoją prędkość od zera do wartości zbliżonej do pierwszej prędkości kosmicznej:
\(v_I=7900\ \text{m/s}\)
Prędkość rakiety rośnie liniowo:
\(v(t)=15{,}8t\)
Oblicz:
- wzór na pęd rakiety \(p(t)\),
- wzór na siłę wypadkową \(F_{wyp}(t)\), korzystając z zależności \(F_{wyp}=\frac{dp}{dt}\),
- wartość siły wypadkowej w chwili startu, czyli dla \(t=0\),
- wartość siły wypadkowej po \(500\ \text{s}\).
Rozwiązanie zadania
Pęd rakiety jest równy iloczynowi masy i prędkości:
\(p(t)=m(t)v(t)\)
Podstawiamy dane:
\(p(t)=(2{,}8\cdot 10^6-1600t)\cdot 15{,}8t\)
Aby obliczyć siłę wypadkową, korzystamy z uogólnionej postaci drugiej zasady dynamiki:
\(F_{wyp}(t)=\frac{dp}{dt}\)
Mamy iloczyn dwóch funkcji: masy \(m(t)\) i prędkości \(v(t)\). Dlatego możemy skorzystać ze wzoru:
\(\frac{d}{dt}(mv)=m'(t)v(t)+m(t)v'(t)\)
Obliczamy pochodne:
\(m'(t)=-1600\)
\(v'(t)=15{,}8\)
Zatem:
\(F_{wyp}(t)=(-1600)\cdot 15{,}8t+(2{,}8\cdot 10^6-1600t)\cdot 15{,}8\)
Upraszczamy:
\(F_{wyp}(t)=-25280t+44{,}24\cdot 10^6-25280t\)
\(F_{wyp}(t)=44{,}24\cdot 10^6-50560t\)
Teraz obliczamy siłę wypadkową w chwili startu:
\(F_{wyp}(0)=44{,}24\cdot 10^6-50560\cdot 0\)
\(F_{wyp}(0)=44{,}24\cdot 10^6\ \text{N}\)
\(F_{wyp}(0)=44{,}24\ \text{MN}\)
Po \(500\ \text{s}\):
\(F_{wyp}(500)=44{,}24\cdot 10^6-50560\cdot 500\)
\(F_{wyp}(500)=44{,}24\cdot 10^6-25{,}28\cdot 10^6\)
\(F_{wyp}(500)=18{,}96\cdot 10^6\ \text{N}\)
\(F_{wyp}(500)=18{,}96\ \text{MN}\)
Odpowiedź
W tym uproszczonym modelu siła wypadkowa działająca na rakietę w chwili startu wynosi \(44{,}24\ \text{MN}\), a po \(500\ \text{s}\) wynosi \(18{,}96\ \text{MN}\).
Warto zauważyć, że mimo wzrostu prędkości rakiety siła wypadkowa maleje, ponieważ masa rakiety zmniejsza się w czasie.
Wariant trudniejszy: ciąg silników z uwzględnieniem ciężaru rakiety
W poprzedniej części obliczyliśmy siłę wypadkową działającą na rakietę:
\(F_{wyp}(t)=44{,}24\cdot 10^6-50560t\)
Teraz uwzględnijmy ciężar rakiety. Rakieta startuje pionowo w górę, więc działa na nią siła ciężkości skierowana w dół:
\(F_g(t)=m(t)g\)
Przyjmujemy:
\(g=9{,}81\ \text{m/s}^2\)
oraz:
\(m(t)=2{,}8\cdot 10^6-1600t\)
Jeżeli ciąg silników oznaczymy przez \(T(t)\), to dla ruchu pionowo w górę mamy:
\(T(t)-F_g(t)=F_{wyp}(t)\)
Stąd:
\(T(t)=F_{wyp}(t)+F_g(t)\)
czyli:
\(T(t)=F_{wyp}(t)+m(t)g\)
Podstawiamy wzory:
\(T(t)=44{,}24\cdot 10^6-50560t+(2{,}8\cdot 10^6-1600t)\cdot 9{,}81\)
Obliczmy ciąg silników w chwili startu, czyli dla \(t=0\).
\(T(0)=44{,}24\cdot 10^6+(2{,}8\cdot 10^6)\cdot 9{,}81\)
\(T(0)=44{,}24\cdot 10^6+27{,}468\cdot 10^6\)
\(T(0)=71{,}708\cdot 10^6\ \text{N}\)
\(T(0)\approx 71{,}7\ \text{MN}\)
Teraz obliczmy ciąg silników po \(500\ \text{s}\).
Najpierw obliczamy masę rakiety:
\(m(500)=2{,}8\cdot 10^6-1600\cdot 500\)
\(m(500)=2{,}8\cdot 10^6-0{,}8\cdot 10^6\)
\(m(500)=2{,}0\cdot 10^6\ \text{kg}\)
Siła ciężkości po \(500\ \text{s}\) wynosi:
\(F_g(500)=2{,}0\cdot 10^6\cdot 9{,}81\)
\(F_g(500)=19{,}62\cdot 10^6\ \text{N}\)
Z poprzedniej części wiemy, że:
\(F_{wyp}(500)=18{,}96\cdot 10^6\ \text{N}\)
Zatem ciąg silników po \(500\ \text{s}\) wynosi:
\(T(500)=18{,}96\cdot 10^6+19{,}62\cdot 10^6\)
\(T(500)=38{,}58\cdot 10^6\ \text{N}\)
\(T(500)=38{,}58\ \text{MN}\)
Odpowiedź:
W tym uproszczonym modelu ciąg silników w chwili startu powinien wynosić około \(71{,}7\ \text{MN}\), a po \(500\ \text{s}\) około \(38{,}6\ \text{MN}\).
Ciąg silników musi być większy od samej siły wypadkowej, ponieważ oprócz nadawania rakiecie przyspieszenia musi jeszcze równoważyć ciężar rakiety.
Uwaga: jest to model uproszczony. Pomijamy między innymi opór powietrza, zmianę wartości przyspieszenia ziemskiego z wysokością oraz szczegóły związane z wyrzucaniem gazów przez silniki rakietowe.
© medianauka.pl, , ZAD-5112/
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Ciało o masie \(m=1\ \text{kg}\) poruszało się po poziomym torze. W czasie \(\Delta t=2\ \text{s}\) jego pęd zwiększył się o \(\Delta p=6\ \text{kg}\cdot\text{m/s}\).
Oblicz:
- wartość średniej siły wypadkowej, która spowodowała zmianę pędu,
- zmianę prędkości ciała.
