Zadanie — moment bezwładności - Twierdzenie Steinera
Treść zadania:
Jednorodny pręt ma masę \(3\ \text{kg}\) i długość \(1{,}2\ \text{m}\). Moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do pręta wynosi:
\(I_0=\frac{1}{12}mL^2\)
Oblicz moment bezwładności pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jeden z jego końców.
Rozwiązanie zadania
Dane z treści zadania:
\(m=3\ \text{kg}\)
\(L=1{,}2\ \text{m}\)
Szukamy momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez koniec pręta. Ta oś jest równoległa do osi przechodzącej przez środek pręta, a odległość między osiami wynosi połowę długości pręta:
\(d=\frac{L}{2}=0{,}6\ \text{m}\)
Korzystamy z twierdzenia Steinera:
\(I=I_0+md^2\)
Podstawiamy wzór na moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego środek:
\(I=\frac{1}{12}mL^2+m\left(\frac{L}{2}\right)^2\)
Przekształcamy wzór:
\(I=\frac{1}{12}mL^2+\frac{1}{4}mL^2\)
\(I=\left(\frac{1}{12}+\frac{3}{12}\right)mL^2\)
\(I=\frac{4}{12}mL^2\)
\(I=\frac{1}{3}mL^2\)
Podstawiamy dane liczbowe:
\(I=\frac{1}{3}\cdot 3\ \text{kg}\cdot(1{,}2\ \text{m})^2\)
Obliczamy kwadrat długości pręta:
\((1{,}2\ \text{m})^2=1{,}44\ \text{m}^2\)
Obliczamy moment bezwładności:
\(I=1\cdot 1{,}44\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\)
\(I=1{,}44\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\)
Odpowiedź
Moment bezwładności pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego koniec wynosi \(1{,}44\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\).
Wynik jest większy niż moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek pręta, ponieważ oś obrotu została przesunięta dalej od środka masy.
© medianauka.pl, 2026-07-06, ZAD-5124/27951
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jednorodna kula pełna ma masę \(2\ \text{kg}\) i promień \(0{,}20\ \text{m}\). Oblicz moment bezwładności tej kuli względem osi stycznej do kuli i równoległej do osi przechodzącej przez jej środek.
Moment bezwładności jednorodnej kuli pełnej względem osi przechodzącej przez jej środek wynosi:
\(I_0=\frac{2}{5}mR^2\)
