Zadanie — pole grawitacyjne
Treść zadania:
Na prostej łączącej środki Ziemi i Księżyca istnieje punkt, w którym natężenie wypadkowego pola grawitacyjnego pochodzącego od Ziemi i Księżyca jest równe zero.
Oblicz, w jakiej odległości od środka Ziemi znajduje się ten punkt.
Przyjmij:
\(M_Z=6{,}0\cdot 10^{24}\ \text{kg}\)
\(M_K=7{,}35\cdot 10^{22}\ \text{kg}\)
\(d=3{,}84\cdot 10^8\ \text{m}\)
gdzie \(d\) oznacza odległość między środkami Ziemi i Księżyca.
Rozwiązanie zadania
Szukamy punktu leżącego między Ziemią i Księżycem. Oznaczmy przez \(x\) odległość tego punktu od środka Ziemi.
Wtedy odległość tego punktu od środka Księżyca wynosi:
\(d-x\)
W punkcie, w którym wypadkowe natężenie pola grawitacyjnego jest równe zero, natężenie pola pochodzące od Ziemi ma taką samą wartość jak natężenie pola pochodzące od Księżyca, ale przeciwny zwrot.
Zapisujemy więc:
\(G\frac{M_Z}{x^2}=G\frac{M_K}{(d-x)^2}\)
Stała grawitacji \(G\) występuje po obu stronach równania, więc możemy ją skrócić:
\(\frac{M_Z}{x^2}=\frac{M_K}{(d-x)^2}\)
Pierwiastkujemy obie strony równania:
\(\frac{\sqrt{M_Z}}{x}=\frac{\sqrt{M_K}}{d-x}\)
Po przekształceniu otrzymujemy:
\(\sqrt{M_Z}(d-x)=x\sqrt{M_K}\)
\(\sqrt{M_Z}d=x\sqrt{M_Z}+x\sqrt{M_K}\)
\(\sqrt{M_Z}d=x(\sqrt{M_Z}+\sqrt{M_K})\)
Stąd:
\(x=\frac{\sqrt{M_Z}d}{\sqrt{M_Z}+\sqrt{M_K}}\)
Wygodnie zapisać to także w postaci:
\(x=\frac{d}{1+\sqrt{\frac{M_K}{M_Z}}}\)
Podstawiamy dane:
\(x=\frac{3{,}84\cdot 10^8}{1+\sqrt{\frac{7{,}35\cdot 10^{22}}{6{,}0\cdot 10^{24}}}}\)
Obliczamy stosunek mas:
\(\frac{7{,}35\cdot 10^{22}}{6{,}0\cdot 10^{24}}=0{,}01225\)
\(\sqrt{0{,}01225}\approx 0{,}111\)
Zatem:
\(x=\frac{3{,}84\cdot 10^8}{1+0{,}111}\)
\(x=\frac{3{,}84\cdot 10^8}{1{,}111}\)
\(x\approx 3{,}46\cdot 10^8\ \text{m}\)
Oznacza to, że punkt ten znajduje się około:
\(3{,}46\cdot 10^8\ \text{m}=346000\ \text{km}\)
od środka Ziemi.
Odległość tego punktu od środka Księżyca wynosi:
\(d-x=3{,}84\cdot 10^8-3{,}46\cdot 10^8\)
\(d-x\approx 3{,}8\cdot 10^7\ \text{m}\)
czyli około:
\(38000\ \text{km}\)
Odpowiedź
Punkt, w którym wypadkowe natężenie pola grawitacyjnego Ziemi i Księżyca jest równe zero, znajduje się około \(3{,}46\cdot 10^8\ \text{m}\), czyli około \(346000\ \text{km}\), od środka Ziemi.
Jest on znacznie bliżej Księżyca niż Ziemi, ponieważ Księżyc ma dużo mniejszą masę niż Ziemia.
© medianauka.pl, 2026-07-12, ZAD-5150/28152
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Satelita znajduje się w odległości \(r=2{,}0\cdot 10^7\ \text{m}\) od środka Ziemi. Oblicz wartość natężenia pola grawitacyjnego Ziemi w tym miejscu.
Przyjmij:
\(G=6{,}67\cdot 10^{-11}\ \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}\)
\(M_Z=6{,}0\cdot 10^{24}\ \text{kg}\)
