Prawdopodobieństwo warunkowe
Dany jest zbiór zdarzeń elementarnych \(\Omega\), zdarzenia losowe \(A, B\), będące podzbiorami zbioru \(\Omega\) i \(P(B)> 0\).
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia \(A\) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\) jest to stosunek prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń \(A\) i \(B\) do prawdopodobieństwa zdarzenia \(B\).
Definicję tę można wyrazić wzorem:
Powyższy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe zastosujemy w przykładzie:
Przykład
Spośród 30 uczniów w klasie matematykę lubi 20 uczniów, fizykę 10 uczniów. Trzech uczniów lubi zarówno matematykę, jak i fizykę. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowany uczeń lubi fizykę pod warunkiem, że lubi jednocześnie matematykę?
Losujemy jednego spośród 30 uczniów. Zbiór zdarzeń elementarnych ma więc 30 elementów.
Oznaczenia:
- \(A\) — wylosowany uczeń lubi fizykę.
- \(B\) — wylosowany uczeń lubi matematykę.
Mamy:
\(P(A)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\)
\(P(B)=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\)
Iloczyn zdarzeń \(A\) i \(B\) oznacza takie zdarzenie, w którym uczeń lubi jednocześnie i matematykę i fizykę. Takich uczniów mamy trzech. Mamy więc:
\(P(A\cap B)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\)
My szukamy innego prawdopodobieństwa. Losujemy najpierw ucznia i zakładamy, że lubi on matematykę i badamy, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że lubi jednocześnie fizykę. Czyli:
\(P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} =\frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{3}} =\frac{3}{20}\)
Prawdopodobieństwo całkowite
Twierdzenie
Niech \(A_1,...,A_n\) oznaczają zdarzenia losowe o dodatnich prawdopodobieństwach wykluczających się parami, a suma tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym. Dla dowolnego zdarzenia \(B\) zachodzi zależność: (prawdopodobieństwo zupełne lub całkowite).
\(P(B)=P(A_1)P(B/A_1)+...+P(A_n)P(B/A_n)\)
Ćwiczenia
Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.
1
2
3
Nie jesteś zalogowany.
Z jajka nic się nie wykluje, a Twoja populacja dziobaków nie przetrwa po opuszczeniu strony... Zaloguj się
Aby otworzyć złote jaja, musisz posiadać Plan Premium.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1 — maturalne.
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.
📑 MODUŁY KURSU
Pełne śledzenie postępów kursu w planie Premium
© medianauka.pl, 2011-08-12, A-1415/1242
Data aktualizacji artykułu: 2026-05-11
