Prędkość
Zdefiniowanie prędkości nie jest takie łatwe, jakby się mogło wydawać. Jeżeli na jednej drodze w przeciwnych kierunkach jadą samochody, których prędkościomierze wskazują wartości \(60 \frac{km}{h}\), to czy auta te mają te samą prędkość? Chociażby ze względu na kierunek, w jakim auta się poruszają, prędkości tych aut są różne. Co wskazują prędkościomierze? Wskazują szybkość w danej chwili. Prędkość zaś jest zupełnie innym pojęciem.
Szybkość średnia \(v_{śr}\) — iloraz drogi \(s\) przebytej do czasu \(t\) ruchu.
\(v_{sr}=\frac{s}{t}=\frac{\Delta s}{\Delta t}\).
Jednostką szybkości w układzie SI jest m/s.
Szybkość (chwilowa) — iloraz drogi przebytej do czasu, w którym ta droga została przebyta, w czasie \(\Delta t\) zmierzającym do zera.
Prędkość średnia jest to wektor będący ilorazem wektora przemieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło. \(\vec{v_s}=\frac{\vec{\Delta r}}{\Delta t}\)
Jednostką prędkości w układzie SI jest m/s.
Szybkość średnia
Szybkość średnia jest to iloraz drogi przebytej przez ciało do czasu, w którym ta droga została przebyta.
Możemy to zapisać następująco:
Zauważ, że im większą drogę ciało przebędzie w ciągu czasu \(\Delta t\), tym większą ma szybkość. Albo inaczej: im mniej czasu ciało potrzebuje na pokonanie drogi \(s\), tym większą ma szybkość.
Czym się różni zapis \(\frac{s}{t}\) od \(\frac{\Delta s}{\Delta t}\)? Znak \(\Delta\) oznacza przyrost. Jeżeli znamy z góry drogę \(s\) i czas \(t\), w jakim ta droga została przebyta, stosujemy wzór \(\frac{s}{t}\). Jeżeli natomiast mamy tylko początkowe i końcowe wartości drogi i czasu, korzystamy z drugiego wzoru. Przyrost wartości obliczamy poprzez odjęcie od wartości końcowej, wartości początkowej. Jeżeli wiemy, że czas początkowy wynosił 2 s, a końcowy 6 s, to przyrost czasu wynosi \(\Delta t=6s-2s=4s\)
Jednostką szybkości w układzie SI jest m/s.
Na ogół ciało przebywa dane odcinki drogi z różnymi prędkościami. Jeżeli dane są kolejno drogi \(s_1, s_2, s_3,...\) przebyte w odcinkach czasu \(t_1, t_2, t_3,...\), to szybkość średnią obliczymy ze wzoru:
\(v_{śr}=\frac{s_1+s_2+s_3+...}{s_t+s_t+s_t+...}\)
Powyższa definicja prędkości jest bardzo niedokładna. Już podczas jazdy samochodem widać, że to, że przybyliśmy 100 km w czasie 2 h daje nam możliwość wyznaczenia szybkości (v=100/2 km/h = 50 km/h), ale dobrze wiemy, że podczas jazdy nie poruszaliśmy się cały czas z taką szybkością.
Szybkość chwilowa
Szybkość chwilowa albo po prostu szybkość, jest to iloraz drogi przebytej przez ciało do czasu, w którym ta droga została przebyta, w czasie \(\Delta t\) zmierzającym do zera.
Mówiąc inaczej, szybkość chwilowa jest to szybkość średnia, ale mierzona w odcinkach czasu bliskich zeru. Definicja ta odpowiada rzeczywistej wartości szybkości. Tylko jak ją obliczać z matematycznego punktu widzenia? Z pomocą przychodzi rachunek różniczkowy, ale to już jest zagadnienie na poziomie akademickim (patrz ramka poniżej).
Animacja
Cztery animacje pokazują, jak zachowuje się wektor \(\vec{v}\) w różnych rodzajach ruchu — od linii prostej, po którą punkt sunie ze stałą prędkością, do dowolnej krzywej, gdzie prędkość chwilowa zmienia się w każdym momencie.
1. Ruch prostoliniowy jednostajny
Wektor prędkości ma stały kierunek, zwrot i długość. Wartość szybkości \(|\vec{v}|\) nie zmienia się — punkt przemierza równe odcinki w równych odstępach czasu.
2. Ruch prostoliniowy przyspieszony
Kierunek wektora pozostaje stały, ale jego długość rośnie — wartość szybkości \(|\vec{v}|\) zwiększa się w czasie. To efekt przyspieszenia działającego wzdłuż toru ruchu.
3. Ruch po okręgu
Wektor prędkości jest zawsze styczny do okręgu. Wartość \(|\vec{v}|\) może być stała, ale kierunek wektora zmienia się w każdej chwili — dlatego ruch po okręgu jest zawsze ruchem przyspieszonym, nawet przy stałej szybkości.
4. Prędkość chwilowa w ruchu krzywoliniowym
Najogólniejszy przypadek: wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru w każdym jego punkcie i tworzy kąt \(\alpha\) z osią x. Gdy krzywa wznosi się, \(\alpha > 0 \); gdy opada, \(\alpha < 0\); w punktach zwrotnych \(\alpha=0\).
Prędkość średnia
Prędkość średnia jest to iloraz wektora przemieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło.
W ten sposób zdefiniowana prędkość jest wielkością wektorową. Kierunek i zwrot wektora prędkości jest taki sam, jak kierunek i zwrot wektora przemieszczenia. Prędkość zatem nie tylko mówi nam, z jaką wartością szybkości ciało się porusza, ale także, jaki jest jej kierunek i zwrot.
Prędkość chwilowa
Prędkość chwilowa (prędkość) jest to iloraz wektora przemieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło, gdy czas \(\Delta t\) zmierza do zera.
Mówiąc inaczej, prędkość chwilowa jest to prędkość średnia, ale mierzona w odcinkach czasu bardzo małych (bliskich zeru). Definicja ta odpowiada rzeczywistej prędkości. W takich przypadkach stosujemy już rachunek różniczkowy (patrz ramka poniżej).
Prędkość chwilowa jest w każdym punkcie styczna do toru ruchu.
Jednostką prędkości w układzie SI jest m/s (metr na sekundę).
Wektor prędkości
Wektor prędkości opisuje nie tylko szybkość ciała, ale także kierunek i zwrot ruchu (jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora przemieszczenia, co wynika wprost ze wzoru, pamiętając, że \(\Delta t \to 0\)). Wektor ten jest styczny do toru ruchu w danym punkcie i wskazuje kierunek, w którym porusza się ciało.
Długość wektora prędkości odpowiada wartości szybkości ciała. Jeżeli zmienia się jedynie kierunek ruchu, a wartość prędkości pozostaje stała (np. w ruchu po okręgu), to wektor prędkości również się zmienia. Oznacza to, że ciało może mieć stałą szybkość, ale zmienną prędkość.
W ruchu prostoliniowym wektor prędkości zachowuje stały kierunek, natomiast w ruchu krzywoliniowym jego kierunek zmienia się wraz z ruchem ciała. Dzięki temu wektor prędkości pozwala dokładniej opisywać ruch niż sama szybkość.
Szybkość chwilowa (prędkość chwilowa) jest pochodną drogi względem czasu.
Z powyższego wzoru wynika, że przyrost drogi w czasie Δt obliczymy za pomocą całki:
Prędkość definiujemy następująco:
Z powyższych rozważań wynika, że droga przebyta przez ciało w czasie \(\Delta t\) jest równa polu figury zawartej między wykresem zależności szybkości od czasu (zobacz rysunek poniżej). Daje na to graficzną możliwość znalezienia drogi, jaką ciało przebyło w danym czasie, jeżeli znany był tylko przebieg zmienności prędkości.
Ćwiczenia
Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.
1
2
3
4
5
Nie jesteś zalogowany.
Z jajka nic się nie wykluje, a Twoja populacja dziobaków nie przetrwa po opuszczeniu strony... Zaloguj się
Aby otworzyć złote jaja, musisz posiadać Plan Premium.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Pojazd przebył 200 m w 5 sekund. Jaką szybkość wskazywał przez cały czas jazdy prędkościomierz. Pojazd jechał ze stałą prędkością.
Zadanie nr 2.
Gdy stoper wskazywał 25 sekund, chłopiec znajdował się 40 m od mety. Gdy ten sam stoper chwilę później wskazywał 30 s, chłopak znajdował się 10 metrów dalej. Oblicz prędkość ruchu chłopca.
Zadanie nr 3.
Jak długo potrwa podróż z Opola do Warszawy, jeżeli długość trasy to 312 km, a kierowca planuje jechać ze średnią prędkością 80 km/h?
Zadanie nr 4.
Jak daleko zajedzie samochód w ciągu 30 minut, jeżeli kierowca będzie jechać ze średnią prędkością 120 km/h?
📑 MODUŁY KURSU
Pełne śledzenie postępów kursu w planie Premium
Powiązane materiały
Przeliczanie jednostek prędkości© medianauka.pl, 2016-12-18, A-3335/1589
Data aktualizacji artykułu: 2026-05-14
