Logo Media Nauka

Facebook

Równanie Schrödingera

Podstawowe równanie w mechanice kwantowej nosi nazwę równania Schrödingera. Równanie to zostało sformułowane w 1926 roku prze Erwina Schrödingera, przyjmując, że cząstki mają własności falowe zgodnie z hipotezą fal materii de Broglie'a.

Przy sformułowaniu tego równania wykorzystano prace matematyczne W. R. Hamiltona. Opracowano aparat matematyczny, który pozwalał z niezwykłą precyzją rozwiązywać problemy mechaniki kwantowej. Rozpoczęła się rewolucja w fizyce. Niestety aparat matematyczny zastosowany w mechanice kwantowej jest bardzo trudny. W niniejszym artykule tylko dotkniemy tej tematyki.

Funkcja falowa

Zgodnie z hipotezą de Broglie'a każda cząstka ma własności falowe. Przypisujemy jej pewną funkcję Ψ współrzędnych położenia i czasu. Zakładamy, że funkcja ta może przyjmować wartości zespolone. To tak zwana funkcja falowa.

Tak zdefiniowana funkcja jest zwykłym aparatem matematycznym i nie można jej przypisać żadnego sensu fizycznego. Funkcja w takiej postaci jest rozwiązaniem równania Shrodingera i dopiero kiedy obliczymy kwadrat z modułu funkcji falowej Ψ(x,y,z,t), to otrzymamy tak zwaną gęstość prawdopodobieństwa p znalezienia cząstki w danej chwili t w punkcie o współrzędnych (x,y,z).

Zapisujemy to w następujący sposób:

|Ψ| 2=p
Poziom zaawansowany

Całka z gęstości prawdopodobieństwa po całej objętości w przestrzeni jest równa jedności:

Zakłada się, że jeżeli badamy daną cząstkę w pewnej objętości w przestrzeni, to mamy pewność, że ją tam znajdziemy. Nie potrafimy jednak dokładnie powiedzieć w jakim punkcie przestrzeni z całą pewnością ta cząstka się znajduje. Rozwiązując równanie Schrödingera, otrzymamy funkcję falową, która da nam tylko możliwość określenia, w jakich miejscach w przestrzeni znalezienie cząstki jest bardziej prawdopodobne, a w jakiej objętości jest to mniej prawdopodobne.

Równanie

Poziom zaawansowany

Równanie falowe Schrödingera dla pojedynczej cząstki ma postać:

i\hbar\frac{\delta{\Phi}}{\delta{t}}=\hat{H}\Psi

lub

i\hbar\frac{\delta{\Psi}}{\delta{t}}=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\delta^2\Psi}{\delta{x^2}}+\frac{\delta^2\Psi}{\delta{z^2}}+\frac{\delta^2\Psi}{\delta{x^2}})+V(x,y,z,t)\Psi

gdzie

- stała Diraca, h - stała Plancka,

Ψ - funkcja falowa cząstki,

V(x,y,z,t) - całkowita energia potencjalna cząstki,

m - masa cząstki,

i - jednostka urojona.

- hamiltonian.

Jeżeli funkcja falowa nie zależy jawnie od czasu, otrzymujemy uproszczoną postać równania Schrödingera:

-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\delta^2\Psi}{\delta{x^2}}+\frac{\delta^2\Psi}{\delta{z^2}}+\frac{\delta^2\Psi}{\delta{x^2}})+V(x,y,z)\Psi=E\Psi,

gdzie E jest energią całkowitą cząstki. Można znaleźć rozwiązania, w których funkcja falowa zależy wykładniczo od czasu.

Rozwiązanie równania Schrodingera daje informacje o rozkładzie energii całkowitej danej cząstki. Już dla samego atomu wodoru, który składa się z jednego elektronu i jądra nie jest to łatwe. Dla układu wielu cząstek (atomu z wieloma elektronami) równanie to znacznie się komplikuje. rozwiązanie można znaleźć tylko dla nielicznej grupy przypadków. Najczęściej stosuje się przybliżone metody szukania rozwiązań, w tym tak zwany rachunek zaburzeń.

Dla elektronów w studni potencjału czy w atomie wartości energii okazują się być nieciągłe, to znaczy przyjmują ściśle określone wartości. Mówimy, że energia takiej cząstki jest skwantowana.



© medianauka.pl, 2020-05-05, ART-3770


Inne zagadnienia z tej lekcji

Liczby kwantoweLiczby kwantowe
Liczby kwantowe – liczby opisujące dyskretne wielkości fizyczne. Pojęcie to pojawiło się w fizyce wraz z odkryciem mechaniki kwantowej. Prawie wszystkie wielkości fizyczne na poziomie cząstek i atomów podlegają zjawisku kwantowania.
Konfiguracja elektronowaKonfiguracja elektronowa
Zasady opisu konfiguracji elektronowej. Pojęcie powłoki, podpowłoki i orbitalu.
Zakaz PauliegoZakaz Pauliego
Żadne dwa elektrony w atomie nie mogą być opisane tym samym zestawem liczb kwantowych.







Polecamy w naszym sklepie

POZA ZIEMIĘ HISTORIA LOTÓW MIĘDZYPLANETARNYCH
Astronomia
magnetyczna klepsydra
termometr Galileusza
The Manga Guide Wszechświat
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.