Równanie ruchu

W przypadku ruchu prostoliniowego możemy tak obrać układ odniesienia, że ciało porusza się wzdłuż osi Ox. Wszystkie rozważania dotyczące wektorów prędkości, położenia i przyspieszenia sprowadzają się do skalarów (wartości liczbowych), a zależności między tymi wielkościami stają się proste i często wykorzystywane w praktycznych zastosowaniach.

Rozpatrujemy tu też ruch jednostajnie zmienny, czyli \(a=const\) (jest stałe).

Przyjmujemy, że \(t_0=0\) (mierzymy czas od zerowej sekundy — włączamy stoper w chwili pomiaru ruchu).

Oto równanie ruchu prostoliniowego - zależność położenia od czasu:

\(x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\)

gdzie:

\(x\) - oznacza współrzędną położenia końcowego ciała w chwili \(t\);

\(x_0\) - współrzędna położenia początkowego ciała w chwili \(t_0=0\);

\(v_0\) - prędkość początkowa ciała w chwili \(t_0=0\) (składowa \(x\))

\(a\) - przyspieszenie (składowa \(x\))

Oto równanie ruchu prostoliniowego - zależność prędkości od czasu:

\(v=v_0+at\)

gdzie:

\(v_0\) - prędkość początkowa ciała w chwili \(t_0=0\) (składowa \(x\))

\(a\) - przyspieszenie (składowa \(x\))

Animacja

Równanie ruchu pozwala przewidzieć położenie ciała w dowolnej chwili czasu. Znając równanie \(x(t)\), możemy wyznaczyć prędkość \(v(t) = x'(t)\) i przyspieszenie \(a(t) = v'(t)\) — kompletny opis ruchu w trzech funkcjach. W animacji pokazujemy także zupełnie inny rodzaj ruchu, dla którego równanie ma inną postać.

x₀0 m

v 2 m/s

x(t) = x₀ + v · t

x(t) — położenie

v(t) — prędkość

a(t) — przyspieszenie

t = 0.00 s

Prędkość jest stała — ciało w każdej chwili przebywa taką samą drogę w tej samej jednostce czasu. Wykres x(t) jest prostą o nachyleniu równym v.

Pamiętając powyższe wzory, można rozwiązać wiele zagadnień fizycznych związanych z ruchem prostoliniowych.

Uwaga! W przypadku prędkości oraz przyspieszenia mamy do czynienia ze składowymi wektorów prędkości i przyspieszenia. Jeżeli zwrot wektora prędkości lub przyspieszenia jest zgodny ze zwrotem osi \(Ox\), to zapisujemy wartości a lub odpowiednio v ze znakiem plus. Jeżeli zwrot wektora prędkości lub przyspieszenia jest przeciwny do zwrotu osi \(Ox\), składowe te zapisujemy ze znakiem minus.

Zapis wektorowy

Zapiszemy teraz równania ruchu za pomocą wektorów:

\(\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2\)
\(\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{g}t\)

Powyższe wzory zapisane w postaci wektorowej mają dość ogólną postać i pozwalają na opis ruchu w różnych konfiguracjach układów odniesienia. Jeżeli ruch odbywa się w dwóch albo trzech wymiarach, w takim przypadku ruch taki opisujemy poprzez rozłożenie go na niezależne ruchy w każdym kierunku wyznaczonym przez osie układu odniesienia. Rozwiązanie takie będziemy stosować w przypadku na przykład analizy rzutu poziomego i ukośnego.

A oto inna przydatna zależność:

\(s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}\)

Uwaga! W fizyce współczesnej równania ruchu zależą od przyjętej teorii fizycznej (mechanika klasyczna, względność, mechanika kwantowa). Tu opisujemy klasyczne ujęcie równania ruchu.

Wyprowadzenie równania ruchu

Sposób I - dla przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonego i prostoliniowego.

Wyprowadzimy oba równania ruchu w oparciu o wzory średniego przyspieszenia i średniej prędkości. Pamiętajmy przy tym, że w ruchu prostoliniowym posługujemy się składowymi x wektora prędkości i przyspieszenia (nie operujemy już wtedy na wielkościach wektorowych).

Wartości początkowe oznaczamy z indeksem zero, wartości końcowe poszczególnych wielkości oznaczamy bez indeksów.

Przyjmujemy, że czas mierzymy od chwili \(t_0=0\).

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0}=\frac{v-v_0}{t-0}=\frac{v-v_0}{t}\)

Przekształcamy powyższy wzór, mnożąc obie strony przez \(t\).

\(a=\frac{v-v_0}{t}/\cdot t\)

\(at=v-v_0\)

\(v=v_0+at\)

Otrzymaliśmy równanie ruchu \(v(t)\) w ruchu prostoliniowym.

Wyznaczymy teraz równanie ruchu \(x(t)\).

W ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym przyrosty prędkości w kolejnych przyrostach czasu są stałe, możemy więc zapisać, że:

\(v_s=\frac{v+v_0}{2}\)
\(v_s=\frac{x-x_0}{t-t_0}=\frac{x-x_0}{t}\)
\(\frac{v+v_0}{2}=\frac{x-x_0}{t}\)

Dokonujemy podstawienia za \(v=v_0+at\) i otrzymujemy

\(\frac{v+v_0}{2}=\frac{x-x_0}{t}\)

\(\frac{v_0+at+v_0}{2}=\frac{x-x_0}{t}\)

\(v_0+\frac{at}{2}=\frac{x-x_0}{t}/\cdot t\)

\(x-x_0=v_0t+\frac{1}{2}at^2\)

\(x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\)

Z kolei zależność

\(s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}\)

otrzymamy, gdy w powyższych rozważaniach wyeliminujemy wielkość \(t\) zamiast \(v\).

Sposób 2 - przypadek dowolnego jednostajnie zmiennego ruchu prostoliniowego.

Poziom zaawansowany

Wartości początkowe oznaczamy z indeksem zero, wartości końcowe poszczególnych wielkości oznaczamy bez indeksów.

Przyjmujemy, że czas mierzymy od chwili \(t_0=0\).

Przyjmujemy, że \(a=const\) (jest stałe).

\(\Delta v=v-v_0=\int\limits_{0}^{t}{adt}=at\)

\(v=v_0+at\)

Z kolei:

\(\Delta s=x-x_0=\int\limits_{0}^{t}{vdt}=\int\limits_{0}^{t}{(v_0+at)dt}=v_0t+\frac{1}{2}at^2\)

\(x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\)

Dodatkowe materiały edukacyjne

To program ćwiczeń do nauki sporządzania równań ruchu w różnych, losowych przypadkach. Aplikacja losuje układ odniesienia, parametry ruchu, a zadaniem kursanta jest sporządzenie prawidłowych równań ruchu. Po wszystkim można prześledzić ruch prawidłowy i zdefiniowany przez kursanta.

Ćwiczenia