Logo Media Nauka

Równanie ruchu

W przypadku ruchu prostoliniowego możemy tak obrać układ odniesienia, że ciało porusza się wzdłuż osi Ox. Wszystkie rozważania dotyczące wektorów prędkości, położenia i przyspieszenia sprowadzają się do skalarów (wartości liczbowych), a zależności miedzy tymi wielkościami stają się proste i często wykorzystywane w praktycznych zastosowaniach.

Rozpatrujemy tu też ruch jednostajnie zmienny, czyli a=const (jest stałe).

Przyjmujemy, że t0=0 (mierzymy czas od zerowej sekundy - włączamy stoper w chwili pomiaru ruchu).

Oto równanie ruchu prostoliniowego - zależność położenia od czasu:

x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2

gdzie:

x - oznacza współrzędną położenia końcowego ciała w chwili t;

x0 - współrzędna położenia początkowego ciała w chwili t0=0;

v0 - prędkość początkowa ciała w chwili t0=0 (składowa x)

a - przyspieszenie (składowa x)

Oto równanie ruchu prostoliniowego - zależność prędkości od czasu:

v=v_0+at

gdzie:

v0 - prędkość początkowa ciała w chwili t0=0 (składowa x)

a - przyspieszenie (składowa x)

Pamiętając powyższe wzory można rozwiązać wiele zagadnień fizycznych związanych z ruchem prostoliniowych.

Uwaga! W przypadku prędkości oraz przyspieszenia mamy do czynienia tak na prawdę ze składowymi wektorów prędkości i przyspieszenia. Jeżeli zwrot wektora prędkości lub przyspieszenia jest zgodny ze zwrotem osi Ox, to zapisujemy wartości a lub odpowiednio v ze znakiem plus. Jeżeli zwrot wektora prędkości lub przyspieszenia jest przeciwny do zwrotu osi Ox, składowe te zapisujemy ze znakiem minus.


Zapiszemy teraz równania ruchu niezależne od układu odniesienia:

\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2
\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{g}t

Powyższe wzory zapisane w postaci wektorowej mają dość ogólną postać i pozwalają na opis ruchu w różnych konfiguracjach układów odniesienia. Jeżeli ruch odbywa się w dwóch albo trzech wymiarach, w takim przypadku ruch taki opisujemy poprzez rozłożenie go na niezależne ruchy w każdym kierunku wyznaczonym przez osie układu odniesienia. Rozwiązanie takie będziemy stosować w przypadku na przykład analizy rzutu poziomego i ukośnego.

A oto inna przydatna zależność:

s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}

Wyprowadzenie równania ruchu

Sposób I - dla przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonego i prostoliniowego.

Wyprowadzimy oba równania ruchu w oparciu o wzory średniego przyspieszenia i średniej prędkości. Pamiętajmy przy tym, że w ruchu prostoliniowym posługujemy się składowymi x wektora prędkości i przyspieszenia (nie operujemy już wtedy na wielkościach wektorowych).

Wartości początkowe oznaczamy z indeksem zero, wartości końcowe poszczególnych wielkości oznaczamy bez indeksów.

Przyjmujemy, że czas mierzymy od chwili t0=0.

a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0}=\frac{v-v_0}{t-0}=\frac{v-v_0}{t}

Przekształcamy powyższy wzór, mnożąc obie strony przez t.

wzór

Otrzymaliśmy równanie ruchu v(t) w ruchu prostoliniowym.

Wyznaczymy teraz równanie ruchu x(t).

W ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym przyrosty prędkości w kolejnych przyrostach czasu są stałe, możemy więc zapisać, że:

v_s=\frac{v+v_0}{2}\\ v_s=\frac{x-x_0}{t-t_0}=\frac{x-x_0}{t}\\ \frac{v+v_0}{2}=\frac{x-x_0}{t}

Dokonujemy podstawienia za v=v_0+at i otrzymujemy

wzór

Z kolei zależność

s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}

otrzymamy, gdy w powyższych rozważaniach wyeliminujemy wielkość t zamiast v.

Sposób 2 - przypadek dowolnego jednostajnie zmiennego ruchu prostoliniowego.

Poziom zaawansowany

Wartości początkowe oznaczamy z indeksem zero, wartości końcowe poszczególnych wielkości oznaczamy bez indeksów.

Przyjmujemy, że czas mierzymy od chwili t0=0.

Przyjmujemy, że a=const (jest stałe).

\Delta v=v-v_0=\int\limits_{0}^{t}{adt}=at

v=v_0+at

Z kolei:

wzór

x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2


© medianauka.pl, 2016-12-18, ART-3337





Inne zagadnienia z tej lekcji

Ruch jednostajny prostoliniowyRuch jednostajny prostoliniowy
Omówienie własności ruchu jednostajnego prostoliniowego wraz z wykresami zależności prędkości i położenia od czasu, a także równań tych zależności. W ruchu jednostajnym prostoliniowym ciało w dowolnych, równych odstępach czasu przebywa jednakowe odcinki drogi.
Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowyRuch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy
Opis ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego. Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy jest to ruch ze stałym przyspieszeniem po linii prostej, a prędkość i przyspieszenie mają ten sam zwrot (a=constans).
Ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowyRuch jednostajnie opóźniony prostoliniowy
Omówienie własności ruchu jednostajnie opóźnionego wraz z wykresami zależności prędkości i położenia od czasu, a także równań tych zależności w tym ruchu. Ruch ten jest szczególnym przypadkiem ruchu jednostajnie zmiennego



© Media Nauka 2008-2018 r.