Rzut pionowy

Rzut pionowy jest ruchem prostoliniowym odbywającym się w polu grawitacyjnym Ziemi przy stałym przyspieszeniu grawitacyjnym g. Podczas wznoszenia ciało porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, a podczas opadania – ruchem jednostajnie przyspieszonym. Rzut pionowy jest to ruch ciała w polu grawitacyjnym odbywający się wzdłuż kierunku pionowego – ku górze lub ku dołowi.

Rzut pionowy do góry można traktować jako odwrócony spadek swobodny. Podczas wznoszenia siła grawitacji zmniejsza wartość prędkości, aż do jej wyzerowania w najwyższym punkcie ruchu.

Przypadek rzutu pionowego w górę

W rzucie pionowym do góry czas wznoszenia \(t_w\) ciała wyrzuconego z prędkością \(v_0\) możemy obliczyć ze wzoru:

\(t_w=\frac{v_0}{g}\)

Z kolei maksymalną wysokość ciała \(h_{max}\) na jaką wzniesie się ciało wyrzucone w górę z prędkością \(v_0\) możemy obliczyć ze wzoru:

\(h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}\)

Im większa prędkość początkowa, tym dłużej ciało będzie się wznosiło. Maksymalna wysokość zależy od kwadratu prędkości początkowej. Oznacza to, że dwukrotne zwiększenie prędkości początkowej powoduje czterokrotny wzrost maksymalnej wysokości.

Symulacja

Rzut pionowy w górę — wykresy a(t), v(t), y(t)

Ciało wyrzucone z gruntu w górę z prędkością początkową v₀. Oś skierowana w górę; ruch trwa do wierzchołka h_max, gdzie v=0.

Prędkość początkowa v₀ 8 m/s

Przyspieszenie g

Tempo 1,0×

Czas t 0,00 s

wysokość y

0,00 m

prędkość v

8,00 m/s

przyspieszenie a

−9,81 m/s²

wys. maks. h_max

3,26 m

a(t) — przyspieszenie

v(t) — prędkość

y(t) — wysokość

Wyprowadzenie wzorów

Wyprowadzimy powyższe zależności. Wyprowadzenie to będzie bardzo dobrym przykładem zastosowania równań ruchu jednostajnie przyspieszonego. Wprowadzimy układ odniesienia związany z podłożem i zrobimy szkic z oznaczeniami.

spadek swobony - oznaczenia

Korzystamy z równania ruchu:

\(\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{g}t\)

Prędkość początkowa jest równa \(v_0\). Prędkość końcowa v jest równa zeru (ciało zatrzymuje się na pewnej wysokości \(h_{max}\)). Przyspieszenie skierowane jest przeciwnie do osi układu odniesienia, zapisujemy je więc ze znakiem minus. Ruch odbywa się tylko wzdłuż jednej osi układu odniesienia, możemy więc posługiwać sie skalarami (jedną współrzędną wektorów). Nasze równanie w naszym układzie odniesienia przyjmuje postać:

\(0=v_0-gt\)

\(v_0=gt/:g\)

\(t=t_w=\frac{v_0}{g}\)

Korzystamy z równania ruchu:

\(\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2\)

Prędkość początkowa jest równa \(v_0\). Położenie początkowe jest równe 0, a końcowe \(h_{max}\). Przyspieszenie skierowane jest przeciwnie do osi układu odniesienia, zapisujemy je więc ze znakiem minus. Ruch odbywa się tylko wzdłuż jednej osi układu odniesienia (\(Oy\)), możemy więc posługiwać się skalarami (jedną współrzędną wektorów). Nasze równanie w naszym układzie odniesienia przyjmuje postać:

\(h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\)

\(h=v_0\cdot\frac{v_0}{g}-\frac{1}{2}g\cdot \frac{v_0^2}{g^2}\)

\(h=\frac{v_0^2}{g}-\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g}\)

\(h=\frac{v_0^2}{2g}\)

Przypadek rzutu pionowego w dół

Rzut pionowy w górę został częściowo opisany w artykule o spadku swobodnym. Nie omówiono jedynie w nim przypadku rzutu ciała w dół z nadaniem początkowej prędkości. W tym przypadku nie możemy wówczas pomijać prędkości początkowej \(v_0\). Zasada wyprowadzania wzorów jest zaś taka sama. Zapiszemy tu tylko równania ruchu, z których można wyznaczyć dowolną wartość.

\(-v_k=-v_0-gt\)

\(0=h-v_0t-\frac{1}{2}gt^2\)

Pytania

Czy w najwyższym punkcie przyspieszenie jest równe zeru?

Nie. W najwyższym punkcie rzutu pionowego prędkość chwilowa jest równa zeru, ale przyspieszenie nadal wynosi \(g=9,81 \frac{m}{s^2}\) i jest skierowane ku Ziemi.