zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 10, matura 2022 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1=675\) i \(a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}\). Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu \(a_n\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \(b_1\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystajmy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \(a_{n+1}=qa_n\).

Mamy więc:

\(a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}\)

\(a_{21}q=\frac{5}{4}a_{22}q+\frac{1}{5}a_{21}\)

\(a_{21}q=\frac{5}{4}a_{21}q^2+\frac{1}{5}a_{21}/:a_{21}\)

To, że \(a_{21}\neq 0\) i możemy wykonać powyższe dzielenie wynika z warunków zadania.

\(q=\frac{5}{4}q^2+\frac{1}{5}\)

\(\frac{5}{4}q^2-q+\frac{1}{5}=0/\cdot 20\)

\(25q^2-20q+4=0\)

\(\Delta=400-4\cdot 25\cdot 4=0\)

\(q_0=-\frac{-20}{2\cdot 25}=\frac{2}{5}\)

Ponieważ \(|q|<1\), możemy obliczyć sumę nieskończonego szeregi geometrycznego ze wzoru: \(S=\frac{a_1}{1-q}\):

\(S=\frac{675}{1-\frac{2}{5}}=\frac{675}{\frac{3}{5}}=1125\)

Obliczmy sumę 25 wyrazów ciągu arytmetycznego:

\(S_{25}=\frac{b_1+b_{25}}{2}\cdot 25=S=1125\)

\(\frac{b_1+b_1+24r}{2}\cdot 25=1125\)

\(\frac{2b_1+24r}{2}\cdot 25=1125/:25\)

\(b_1+12r=45\)

Z warunków zadania wiemy, że:

\(a_3=b_4\)

\(a_3=a_1q^2=675\cdot\frac{4}{25}=108\)

\(b_4=b_1+3r\)

\(b_1+3r=108\)

Pamiętamy, że

\(b_1+12r=45\)

Stąd, odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego:

\(8r=-63\)

\(r=-7\)

Znając \(r\) możemy obliczyć szukane \(b_1\):

\(b_1+3r=108\)

\(b_1+3\cdot(-7)=108\)

\(b_1=108+21=129\)

ksiązki Odpowiedź

\(b_1=129\)

© medianauka.pl, 2023-04-28, ZAD-4888

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne





©® Media Nauka 2008-2023 r.