Nauka » Matematyka » Silnia

Zadanie - silnia, obliczanie silni

Obliczyć
1) $\frac{103!}{100!}$
2) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$

Rozwiązanie zadania uproszczone

1) $\frac{103!}{100!}=\frac{\cancel{100!}\cdot 101\cdot 102\cdot 103}{\cancel{100!}}=101\cdot 102\cdot 103=1061106$

2) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot (n+1)}{\cancel{(n-1)!}}=n(n+1)$

Rozwiązanie szczegółowe

Rozwiązanie zadania 1

Dla n>2 mamy

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot n$

Zgodnie z powyższym wzorem oraz warunkami zadania mamy:

$\frac{103!}{100!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot 100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 103}{100!}=\frac{100!\cdot 101 \cdot 102 \cdot 103}{100!}= \\ =\frac{\cancel{100!}\cdot 101 \cdot 102 \cdot 103}{\cancel{100!}}=101 \cdot 102 \cdot 103=1061106$ tło

Rozwiązanie zadania 2

Dla n>2 mamy

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot n$

Zgodnie z powyższym wzorem możemy zapisać, że (n+1)!=1∙2∙3∙...∙(n-1)∙n∙(n+1):

$\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n \cdot (n+1)}{(n-1)!}=\frac{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot (n+1)}{\cancel{(n-1)!}}=n(n+1)$ tło

Odpowiedź

1) $\frac{103!}{100!}=1061106$
2) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)$