Nauka » Matematyka » Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)

Zadanie - najmniejsza wspólna wielokrotność NWW

Znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność NWW liczb:
a) 168 i 762
b) 3125 i 625
c) 2016 i 33264
d) 432, 112 i 84

a) Rozwiązanie zadania

NWW dwóch liczb naturalnych znajdujemy wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze.

$\begin{tabular}{r|l} 168 & \Large{2}\\84 & 2\\42 & 2 \\21 & \Large{3} \\7 & 7 \\1 &\end{tabular}$ $\begin{tabular}{r|l} 762 & \Large{2}\\381 & \Large{3} \\127 & 127 \\1 &\end{tabular}$ tło

NWW jest równe iloczynowi jednej z danych liczb i wszystkich czynników pierwszych rozkładu drugiej liczby, które nie występowały w rozkładzie na czynniki pierwszej liczby:

$NWW(168, 762)=168 \cdot 127=762\cdot 2\cdot 2\cdot 7=21336$

Odpowiedź

$NWW(168, 762)=168 \cdot 127=762\cdot 2\cdot 2\cdot 7=21336$

b) Rozwiązanie zadania

NWW dwóch liczb naturalnych znajdujemy wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze.

$\begin{tabular}{r|l} 3125 & \Large{5}\\625 & \Large{5}\\125 & \Large{5} \\25 & \Large{5} \\5 & 5 \\1 &\end{tabular}$ $\begin{tabular}{r|l} 625 & \Large{5}\\125 & \Large{5} \\25 & \Large{5} \\5 & \Large{5} \\1 &\end{tabular}$ tło

NWW jest równa iloczynowi jednej z danych liczb i wszystkich czynników pierwszych rozkładu drugiej liczby, które nie występowały w rozkładzie na czynniki pierwszej liczby:

$NWW(3125, 625)=625\cdot 5=3125$

Odpowiedź

$NWW(3125, 625)=625\cdot 5=3125$

c) Rozwiązanie zadania

NWW dwóch liczb naturalnych znajdujemy wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze.

$\begin{tabular}{r|l} 2016 & \Large{2}\\1008 & \Large{2}\\504 & \Large{2} \\252 & \Large{2} \\126 & 2 \\63 & \Large{3}\\21 & \Large{3}\\7 & Large{7}\\1 &\end{tabular}$ $\begin{tabular}{r|l} 33264 & \Large{2}\\16632 & \Large{2} \\8316 & \Large{2} \\4158 & \Large{2} \\2079 & \Large{7}\\297 & 11 \\27 & \Large{3}\\9 & \Large{3}\\3 & 3\\1 &\end{tabular}$ tło

NWW jest równa iloczynowi jednej z danych liczb i wszystkich czynników pierwszych rozkładu drugiej liczby, które nie występowały w rozkładzie na czynniki pierwszej liczby:

$NWW(2016, 33264)=2016\cdot 11\cdot 3=33264\cdot 2=66528$

Odpowiedź

$NWW(2016, 33264)=2016\cdot 11\cdot 3=33264\cdot 2=66528$

d) Rozwiązanie zadania

NWW dwóch trzech liczb naturalnych znajdujemy wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze dwóch dowolnych liczb. Znajdujemy w ten sposób NWW tych dwóch liczb. Następnie wystarczy sprawdzić, czy NWW dzieli się bez reszty przez trzecią liczbę, albo ponownie znaleźć najmniejszy wspólny dzielnik znalezionej wcześniej NWW i trzeciej liczby, wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze.

$\begin{tabular}{r|l} 432 & \Large{2}\\216 & \Large{2}\\108 & \Large{2} \\54 & \Large{2} \\27 & 3 \\9 & 3\\3 & 3\\1 &\end{tabular}$ $\begin{tabular}{r|l} 112 & \Large{2}\\56 & \Large{2} \\28 & \Large{2} \\14 & \Large{2} \\7 & 7\\1 &\end{tabular}$ tło

NWW jest równa iloczynowi jednej z danych liczb i wszystkich czynników pierwszych rozkładu drugiej liczby, które nie występowały w rozkładzie na czynniki pierwszej liczby:

$NWW(432, 112)=432\cdot 7=112\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3024$

Liczba 3024 dzieli się bez reszty przez trzecią liczbę 84 (3024:84=36). Zatem 3024 stanowi też wielokrotność liczby 84. Gdyby tak nie było, wówczas, jak to pokazano w skróconym rozwiązaniu zadania, należało by powtórzyć szukanie NWW dla liczb 3024 i 84 metodą rozkładu obu liczb na czynniki pierwsze.