Przepływ cieczy rzeczywistych

Zapamiętaj

Ciecze rzeczywiste mają lepkość, dlatego podczas ich przepływu występują opory ruchu i straty energii mechanicznej.

Lepkość dynamiczną oznaczamy symbolem \(\eta\). Jej jednostką w układzie SI jest paskalosekunda:

\(\text{Pa}\cdot\text{s}\)

W cieczach lepkość na ogół maleje wraz ze wzrostem temperatury.

W przepływie laminarnym warstwy cieczy przesuwają się w sposób uporządkowany, natomiast w przepływie turbulentnym występują wiry i nieregularne zmiany prędkości.

Liczba Reynoldsa określa, czy przepływ ma skłonność do zachowania laminarnego, czy turbulentnego:

\(\mathrm{Re}=\frac{\rho vd}{\eta}\)

Dla kuli poruszającej się powoli w lepkiej cieczy siła oporu jest opisana prawem Stokesa:

\(F_o=6\pi\eta rv\)

Po osiągnięciu prędkości granicznej siły działające na opadającą kulę równoważą się i porusza się ona ruchem jednostajnym.

W modelach idealnych zakłada się często, że ciecz nie ma lepkości i przepływa bez strat energii. Rzeczywiste ciecze, takie jak woda, olej, gliceryna czy krew, stawiają jednak opór poruszającym się w nich ciałom oraz własnemu przepływowi.

Przyczyną tych zjawisk jest przede wszystkim lepkość, czyli tarcie wewnętrzne występujące między sąsiednimi warstwami cieczy poruszającymi się z różnymi prędkościami.

Lepkość i opory ruchu

Lepkość jest właściwością płynu opisującą jego opór przeciwko wzajemnemu przesuwaniu się sąsiednich warstw.

Wyobraźmy sobie ciecz znajdującą się między dwiema równoległymi płytami. Dolna płyta pozostaje nieruchoma, a górna porusza się poziomo. Warstwa cieczy bezpośrednio przylegająca do górnej płyty porusza się razem z nią, natomiast warstwa przy dolnej płycie pozostaje nieruchoma.

Pomiędzy płytami prędkość kolejnych warstw stopniowo się zmienia. Sąsiednie warstwy oddziałują na siebie siłami tarcia wewnętrznego, które przeciwdziałają różnicy ich prędkości.

W cieczy rzeczywistej przyjmuje się zwykle, że warstwa bezpośrednio stykająca się ze ścianką ma taką samą prędkość jak ta ścianka. Zjawisko to nazywa się warunkiem braku poślizgu.

Tarcie wewnętrzne

Dla wielu cieczy, nazywanych cieczami newtonowskimi, siła tarcia wewnętrznego jest proporcjonalna do pola powierzchni stykających się warstw oraz do szybkości zmiany prędkości między nimi.

Zależność tę można zapisać w postaci:

\(\tau=\eta\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}\)

gdzie:

\(\tau\) – naprężenie styczne, czyli siła styczna przypadająca na jednostkę powierzchni,
\(\eta\) – lepkość dynamiczna cieczy,
\(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}\) – szybkość zmiany prędkości między sąsiednimi warstwami cieczy.

Im większa jest lepkość, tym większej siły potrzeba, aby warstwy cieczy przesuwały się względem siebie z określoną różnicą prędkości.

Woda ma stosunkowo małą lepkość, dlatego łatwo płynie. Miód, olej silnikowy lub gliceryna mają znacznie większą lepkość i płyną wolniej w podobnych warunkach.

Jednostka lepkości

Jednostką lepkości dynamicznej w układzie SI jest paskalosekunda:

\(\text{Pa}\cdot\text{s}\)

Jednostkę tę można również zapisać jako:

\(\frac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}^2}\)

lub:

\(\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}}\)

W hydrodynamice wykorzystuje się również lepkość kinematyczną oznaczaną symbolem \(\nu\):

\(\nu=\frac{\eta}{\rho}\)

gdzie \(\rho\) oznacza gęstość płynu. Jednostką lepkości kinematycznej jest:

\(\frac{\text{m}^2}{\text{s}}\)

Wpływ temperatury na lepkość

Lepkość zależy od temperatury. W przypadku cieczy jej wartość na ogół maleje wraz ze wzrostem temperatury.

Podgrzana ciecz płynie więc łatwiej niż ciecz chłodna. Na przykład zimny olej silnikowy jest bardziej lepki, natomiast po rozgrzaniu przepływa swobodniej przez kanały układu smarowania.

Podobne zjawisko można zauważyć podczas ogrzewania miodu lub syropu. Po podgrzaniu stają się one bardziej płynne.

W gazach zależność jest odwrotna: ich lepkość zwykle rośnie wraz ze wzrostem temperatury.

Przepływ cieczy rzeczywistej

Podczas przepływu cieczy rzeczywistej część energii mechanicznej zostaje zamieniona na energię wewnętrzną wskutek tarcia wewnętrznego oraz oddziaływania cieczy ze ściankami przewodu.

Wzdłuż przewodu występuje więc spadek ciśnienia. Aby utrzymać przepływ, potrzebna jest różnica ciśnień wytwarzana na przykład przez pompę, różnicę poziomów cieczy albo działanie siły ciężkości.

Równanie Bernoulliego dla cieczy idealnej nie uwzględnia strat energii. W przypadku rzeczywistego przepływu można zapisać jego rozszerzoną postać:

\(p_1+\frac{\rho v_1^2}{2}+\rho gh_1=p_2+\frac{\rho v_2^2}{2}+\rho gh_2+\Delta p_{\text{str}}\)

gdzie \(\Delta p_{\text{str}}\) oznacza stratę ciśnienia związaną z lepkością, tarciem o ścianki, zmianami kierunku przepływu oraz innymi oporami hydraulicznymi.

Straty ciśnienia rosną między innymi wraz z:

długością przewodu,
prędkością przepływu,
lepkością cieczy,
chropowatością ścian przewodu,
liczbą kolan, zaworów i przewężeń.

Przepływ laminarny

Przepływ laminarny jest uporządkowanym przepływem, w którym sąsiednie warstwy cieczy przesuwają się względem siebie bez intensywnego mieszania.

W przepływie laminarnym tory ruchu elementów cieczy są regularne, a linie prądu mają gładki przebieg. Poszczególne warstwy cieczy zachowują uporządkowany układ.

Przepływ laminarny występuje najczęściej przy:

małych prędkościach,
dużej lepkości cieczy,
małych wymiarach przewodu,
łagodnych zmianach kształtu przewodu.

Przykładami przepływu laminarnego mogą być:

powolny przepływ oleju przez cienką rurkę,
przepływ gliceryny,
ruch cieczy w bardzo wąskich naczyniach,
opadanie niewielkiej kuli w lepkiej cieczy przy małej prędkości.

Przepływ turbulentny

Przepływ turbulentny jest przepływem nieuporządkowanym, w którym występują wiry, intensywne mieszanie oraz nieregularne zmiany prędkości i ciśnienia.

W przepływie turbulentnym elementy cieczy przemieszczają się nie tylko wzdłuż głównego kierunku przepływu, lecz także poprzecznie. Powstające wiry powodują mieszanie cieczy i zwiększają opory ruchu.

Przepływ turbulentny występuje najczęściej przy:

dużych prędkościach,
małej lepkości płynu,
dużych wymiarach przewodu,
gwałtownych zmianach kształtu lub kierunku przepływu,
obecności przeszkód i nierówności.

Przykładami przepływu turbulentnego są:

rwący nurt rzeki,
gwałtowny wypływ wody z kranu,
przepływ wody w szerokim przewodzie z dużą prędkością,
ruch cieczy za przeszkodą, gdzie powstają wiry.

Porównanie przepływu laminarnego i turbulentnego

Przepływ laminarny:

jest uporządkowany,
linie prądu są gładkie,
warstwy cieczy słabo się mieszają,
opory przepływu są mniejsze,
występuje zwykle przy małych prędkościach.

Przepływ turbulentny:

jest nieregularny,
występują w nim wiry,
ciecz intensywnie się miesza,
opory przepływu są większe,
występuje zwykle przy dużych prędkościach.

Liczba Reynoldsa

Rodzaj przepływu można w przybliżeniu przewidzieć za pomocą bezwymiarowej wielkości nazywanej liczbą Reynoldsa.

\(\mathrm{Re}=\frac{\rho vd}{\eta}\)

gdzie:

\(\mathrm{Re}\) – liczba Reynoldsa,
\(\rho\) – gęstość płynu,
\(v\) – średnia prędkość przepływu,
\(d\) – charakterystyczny wymiar, na przykład średnica rury,
\(\eta\) – lepkość dynamiczna płynu.

Korzystając z lepkości kinematycznej, można również zapisać:

\(\mathrm{Re}=\frac{vd}{\nu}\)

Liczba Reynoldsa porównuje znaczenie sił bezwładności z siłami lepkości. Mała wartość liczby Reynoldsa oznacza, że duże znaczenie mają siły lepkości, co sprzyja przepływowi laminarnemu. Duża liczba Reynoldsa oznacza przewagę efektów bezwładności i sprzyja powstawaniu turbulencji.

Przepływ w rurze

Dla przepływu przez prostą rurę o kołowym przekroju przyjmuje się orientacyjnie:

\(\mathrm{Re}<2300\) – przepływ jest zwykle laminarny,
\(2300<\mathrm{Re}<4000\) – występuje zakres przejściowy,
\(\mathrm{Re}>4000\) – przepływ jest zwykle turbulentny.

Granice te nie są absolutne. Na rodzaj przepływu wpływają również drgania, nierówności ścian, sposób doprowadzenia cieczy oraz geometria przewodu.

Liczbę Reynoldsa można stosować także do przepływu wokół ciał. W takim przypadku jako charakterystyczny wymiar przyjmuje się na przykład średnicę poruszającej się kuli.

Prawo Stokesa

Ciało poruszające się w cieczy doświadcza siły oporu. Jej wartość zależy od kształtu ciała, jego rozmiarów, prędkości, lepkości cieczy oraz rodzaju przepływu.

Dla kuli poruszającej się powoli w lepkiej cieczy, gdy przepływ wokół niej jest laminarny, siłę oporu opisuje prawo Stokesa:

\(F_o=6\pi\eta rv\)

gdzie:

\(F_o\) – wartość siły oporu,
\(\eta\) – lepkość dynamiczna cieczy,
\(r\) – promień kuli,
\(v\) – prędkość kuli względem cieczy.

Z prawa Stokesa wynika, że siła oporu jest wprost proporcjonalna do:

lepkości cieczy,
promienia kuli,
prędkości kuli.

Jeżeli prędkość kuli wzrośnie dwukrotnie, siła oporu opisana prawem Stokesa również wzrośnie dwukrotnie.

Warunki stosowania prawa Stokesa

Prawo Stokesa można stosować, gdy:

ciało ma kształt kuli,
ciecz jest newtonowska,
przepływ wokół kuli jest laminarny,
liczba Reynoldsa jest znacznie mniejsza od jedności,
kula znajduje się dostatecznie daleko od ścian i dna naczynia,
ciecz można uznać za jednorodną.

Dla ruchu kuli jako charakterystyczny wymiar można przyjąć jej średnicę \(d=2r\). Liczba Reynoldsa ma wtedy postać:

\(\mathrm{Re}=\frac{\rho vd}{\eta}=\frac{2\rho vr}{\eta}\)

Przy większych prędkościach przepływ przestaje być pełzający, mogą pojawić się wiry, a zależność \(F_o=6\pi\eta rv\) przestaje poprawnie opisywać opór.

Prędkość graniczna opadającej kuli

Rozważmy kulę o gęstości większej od gęstości cieczy, puszczoną swobodnie w lepkiej cieczy.

Na kulę działają trzy siły:

siła ciężkości \(F_g\), skierowana pionowo w dół,
siła wyporu \(F_w\), skierowana pionowo w górę,
siła oporu \(F_o\), skierowana przeciwnie do ruchu, czyli pionowo w górę.

Na początku kula przyspiesza, ponieważ jej ciężar jest większy od sumy siły wyporu i siły oporu. Wraz ze wzrostem prędkości rośnie jednak siła oporu.

Po pewnym czasie suma siły wyporu i siły oporu staje się równa sile ciężkości:

\(F_g=F_w+F_o\)

Wypadkowa siła jest wtedy równa zeru. Kula przestaje przyspieszać i zaczyna poruszać się ruchem jednostajnym. Osiągniętą prędkość nazywamy prędkością graniczną.

Prędkość graniczna jest stałą prędkością ciała poruszającego się w płynie, osiąganą wtedy, gdy siły działające zgodnie z kierunkiem ruchu równoważą siły działające przeciwnie.

Wyprowadzenie wzoru na prędkość graniczną

Objętość kuli o promieniu \(r\) wynosi:

\(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)

Jej ciężar jest równy:

\(F_g=\rho_kVg\)

Siła wyporu wynosi:

\(F_w=\rho_pVg\)

Siłę oporu przy prędkości granicznej opisuje prawo Stokesa:

\(F_o=6\pi\eta rv_{\text{gr}}\)

Po osiągnięciu prędkości granicznej:

\(F_g=F_w+F_o\)

Podstawiamy wzory:

\(\rho_kVg=\rho_pVg+6\pi\eta rv_{\text{gr}}\)

Po przeniesieniu składników:

\((\rho_k-\rho_p)Vg=6\pi\eta rv_{\text{gr}}\)

Podstawiamy objętość kuli:

\((\rho_k-\rho_p)\frac{4}{3}\pi r^3g=6\pi\eta rv_{\text{gr}}\)

Po przekształceniu otrzymujemy:

\(v_{\text{gr}}=\frac{2r^2g(\rho_k-\rho_p)}{9\eta}\)

gdzie:

\(v_{\text{gr}}\) – prędkość graniczna kuli,
\(r\) – promień kuli,
\(\rho_k\) – gęstość kuli,
\(\rho_p\) – gęstość płynu,
\(\eta\) – lepkość dynamiczna płynu,
\(g\) – wartość przyspieszenia ziemskiego.

Prędkość graniczna rośnie wraz z kwadratem promienia kuli oraz różnicą gęstości kuli i cieczy. Maleje natomiast wraz ze wzrostem lepkości cieczy.

Jeżeli ciało ma mniejszą gęstość niż ciecz, będzie unosiło się ku powierzchni. Wtedy wartość prędkości granicznej można zapisać za pomocą bezwzględnej różnicy gęstości:

\(v_{\text{gr}}=\frac{2r^2g|\rho_k-\rho_p|}{9\eta}\)

Wyznaczanie lepkości metodą opadającej kulki

Prawo Stokesa wykorzystuje się do doświadczalnego wyznaczania lepkości cieczy. Jedną z metod jest pomiar ruchu niewielkiej kulki opadającej w wysokim naczyniu wypełnionym badaną cieczą.

Najpierw należy odczekać, aż kulka osiągnie prędkość graniczną. Następnie mierzy się czas \(t\), w którym pokonuje ona odcinek o długości \(l\).

Prędkość graniczna wynosi:

\(v_{\text{gr}}=\frac{l}{t}\)

Ze wzoru na prędkość graniczną:

\(v_{\text{gr}}=\frac{2r^2g(\rho_k-\rho_p)}{9\eta}\)

wyznaczamy lepkość:

\(\eta=\frac{2r^2g(\rho_k-\rho_p)}{9v_{\text{gr}}}\)

Po podstawieniu \(v_{\text{gr}}=\frac{l}{t}\) otrzymujemy:

\(\eta=\frac{2r^2g(\rho_k-\rho_p)t}{9l}\)

Aby wynik był wiarygodny, należy znać:

promień kulki,
gęstość kulki,
gęstość cieczy,
długość odcinka pomiarowego,
czas ruchu kulki na tym odcinku,
temperaturę cieczy.

Pomiar temperatury jest szczególnie ważny, ponieważ lepkość cieczy może silnie się od niej zmieniać.

W dokładnych pomiarach uwzględnia się również wpływ ścian naczynia. Jeżeli naczynie jest zbyt wąskie, ściany zwiększają opór działający na kulkę i proste prawo Stokesa wymaga zastosowania odpowiednich poprawek.

Przykłady znaczenia lepkości

Lepkość i rodzaj przepływu mają duże znaczenie między innymi w:

projektowaniu rurociągów i instalacji wodnych,
doborze olejów i środków smarnych,
przepływie krwi w układzie krążenia,
produkcji farb, lakierów, kosmetyków i leków,
przetwórstwie żywności,
ruchu kropli i pęcherzyków w cieczach,
opadaniu pyłów i osadów,
pomiarach lepkości za pomocą wiskozymetrów.

Znajomość lepkości pozwala przewidywać szybkość przepływu cieczy, wartość oporów ruchu oraz warunki przejścia od przepływu laminarnego do turbulentnego.

Symulacja

Przepływ laminarny — profil prędkości i definicja lepkości

Górna płyta jest ciągnięta, dolna spoczywa. Ciecz między nimi dzieli się na warstwy, które ślizgają się po sobie — w ustalonym, laminarnym przepływie cieczy newtonowskiej (przepływ Couette'a) powstaje liniowy profil prędkości.

Lepkość dynamiczna η —

Orientacyjne wartości lepkości dynamicznej w temperaturze ok. 20 °C. Miód — uproszczony model newtonowski o stałej lepkości pozornej.

Prędkość górnej płyty v —

\( F \;=\; \eta \, A \, \dfrac{\Delta v}{\Delta y} \)

η = — A = 0,5 m² Δv = — Δy = 5 cm Δv/Δy = — F = — czas ustalania ≈ —

Co obserwować: pionowe kolumny znaczników pochylają się — każda warstwa płynie z inną prędkością (ścinanie). Strzałki po lewej tworzą liniowy profil: od v = 0 przy dolnej płycie do pełnej prędkości przy górnej. Taki profil zakłada: ciecz newtonowską, przepływ ustalony i laminarny, brak gradientu ciśnienia wzdłuż płyt, brak poślizgu na ściankach oraz płyty równoległe i na tyle rozległe, że pomijamy efekty brzegowe. W tym idealnym, ustalonym przepływie suwak lepkości nie zmienia liniowego profilu prędkości — zmienia natomiast wymaganą siłę F. Lepkość dynamiczna η jest współczynnikiem proporcjonalności między naprężeniem ścinającym τ = F/A a gradientem prędkości Δv/Δy — to jej newtonowska definicja; po pomnożeniu przez pole A otrzymujemy F = ηA·Δv/Δy. W trybie stałej siły role się odwracają: to lepkość decyduje o prędkości — ta sama siła daje po miodzie ruch w ślimaczym tempie, po glicerynie i oleju umiarkowany, a dla wody model przewiduje bardzo dużą prędkość stanu ustalonego, przy której założenia przepływu laminarnego przestają jednak obowiązywać. Po naciśnięciu ⟲ Od spoczynku (lub wybraniu cieczy) widać, jak profil dochodzi do stanu ustalonego przez dyfuzję pędu: w miodzie niemal natychmiast, w wodzie pęd przenika w głąb szczeliny bardzo powoli — dolne warstwy długo stoją, a ścinane są tylko warstwy przy płycie. Orientacyjny czas ustalania Δy²·ρ/η pokazuje chip pod wzorem. Pozorny paradoks: po starcie od spoczynku to woda wygląda na „gęstszą" — jej dolne warstwy długo stoją, a w miodzie wszystko rusza niemal od razu. To nie błąd: lepkość jest tarciem wewnętrznym, które sprzęga warstwy. Miód (duża η) ciągnie za sobą całą ciecz, dlatego profil ustala się szybko; woda (mała η) prawie nie przenosi ścinania w głąb — płyta ślizga się po niej, a pęd wnika powoli (ν = η/ρ jest współczynnikiem dyfuzji pędu: miód ~7·10⁻³, woda ~10⁻⁶ m²/s). Szybkie „ruszanie razem" jest więc oznaką dużej lepkości, a miarą lepkości pozostaje siła F potrzebna do ciągnięcia płyty.