Prawo Bernoulliego

Zapamiętaj

Prawo Bernoulliego opisuje przemiany ciśnienia, prędkości i wysokości płynu podczas przepływu.

Dla ustalonego przepływu idealnego płynu wzdłuż jednej linii prądu:

\(p+\frac{\rho v^2}{2}+\rho gh=\text{const}\)

Jeżeli porównujemy dwa punkty strugi:

\(p_1+\frac{\rho v_1^2}{2}+\rho gh_1=p_2+\frac{\rho v_2^2}{2}+\rho gh_2\)

Na tej samej wysokości wzrostowi prędkości płynu towarzyszy spadek ciśnienia statycznego.

Prawo Bernoulliego jest konsekwencją zasady zachowania energii.

Podczas przepływu płyn może zmieniać prędkość, ciśnienie oraz wysokość. Wielkości te są ze sobą powiązane. Zależność między nimi opisuje prawo Bernoulliego.

Prawo to zostało sformułowane przez Daniela Bernoulliego, szwajcarskiego matematyka i fizyka żyjącego w XVIII wieku.

Równanie Bernoulliego

W ustalonym przepływie idealnego płynu suma ciśnienia statycznego, ciśnienia dynamicznego oraz składnika związanego z wysokością jest stała wzdłuż linii prądu.

Równanie Bernoulliego ma postać:

\(p+\frac{\rho v^2}{2}+\rho gh=\text{const}\)

Dla dwóch punktów znajdujących się na tej samej linii prądu możemy zapisać:

\(p_1+\frac{\rho v_1^2}{2}+\rho gh_1=p_2+\frac{\rho v_2^2}{2}+\rho gh_2\)

gdzie:

\(p_1\), \(p_2\) – ciśnienia statyczne w rozpatrywanych punktach,
\(\rho\) – gęstość płynu,
\(v_1\), \(v_2\) – prędkości płynu,
\(g\) – wartość przyspieszenia ziemskiego,
\(h_1\), \(h_2\) – wysokości punktów względem przyjętego poziomu odniesienia.

Znaczenie poszczególnych składników

Każdy składnik równania Bernoulliego ma jednostkę ciśnienia, czyli paskala.

Ciśnienie statyczne

Składnik \(p\) oznacza ciśnienie statyczne płynu. Jest to ciśnienie, które płyn wywiera na ścianki przewodu.

Ciśnienie dynamiczne

Składnik:

\(\frac{\rho v^2}{2}\)

nazywamy ciśnieniem dynamicznym. Jest on związany z ruchem płynu i rośnie wraz z kwadratem jego prędkości.

Składnik hydrostatyczny

Składnik:

\(\rho gh\)

jest związany z położeniem płynu w polu grawitacyjnym. Im większa wysokość \(h\), tym większa energia potencjalna jednostki objętości płynu.

Energetyczna interpretacja prawa Bernoulliego

Prawo Bernoulliego wynika z zasady zachowania energii mechanicznej. Poszczególne składniki równania można interpretować jako energie przypadające na jednostkę objętości płynu:

\(p\) – energia związana z ciśnieniem,
\(\frac{\rho v^2}{2}\) – energia kinetyczna jednostki objętości płynu,
\(\rho gh\) – energia potencjalna jednostki objętości płynu.

Jeżeli jeden z tych składników wzrasta, co najmniej jeden z pozostałych musi się zmniejszyć, aby ich suma pozostała stała.

Przepływ w poziomym przewodzie

Rozważmy przepływ w poziomym przewodzie. Oba analizowane punkty znajdują się wtedy na tej samej wysokości:

\(h_1=h_2\)

Składniki \(\rho gh_1\) i \(\rho gh_2\) są jednakowe i można je pominąć. Równanie Bernoulliego przyjmuje postać:

\(p_1+\frac{\rho v_1^2}{2}=p_2+\frac{\rho v_2^2}{2}\)

Jeżeli prędkość płynu w drugim punkcie jest większa:

\(v_2>v_1\)

to ciśnienie statyczne w tym punkcie jest mniejsze:

\(p_2<p_1\)

W poziomym przepływie idealnego płynu wzrostowi prędkości towarzyszy spadek ciśnienia statycznego.

Wniosek ten obowiązuje przy założeniach równania Bernoulliego i przy porównywaniu punktów leżących na tej samej linii prądu. Nie należy go traktować jako ogólnej zasady odnoszącej się do każdego ruchu płynu.

Prawo Bernoulliego i przewężenie przewodu

W ustalonym przepływie cieczy nieściśliwej obowiązuje również równanie ciągłości strugi:

\(S_1v_1=S_2v_2\)

Jeżeli przewód się zwęża:

\(S_2<S_1\)

to prędkość cieczy w przewężeniu rośnie:

\(v_2>v_1\)

Jeżeli przewód jest poziomy, z prawa Bernoulliego wynika, że w przewężeniu ciśnienie statyczne jest mniejsze:

\(p_2<p_1\)

W przewężeniu poziomego przewodu ciecz płynie zatem szybciej, lecz wywiera mniejsze ciśnienie statyczne na ścianki przewodu.

Efekt Venturiego

Spadek ciśnienia w przewężeniu przewodu nazywamy efektem Venturiego.

Jeżeli do przewężenia zostanie podłączona boczna rurka, niższe ciśnienie może powodować zasysanie do niej cieczy lub gazu z innego zbiornika.

Efekt Venturiego wykorzystuje się między innymi w:

rozpylaczach i atomizerach,
palnikach gazowych,
gaźnikach silników spalinowych,
zwężkach służących do pomiaru natężenia przepływu,
niektórych urządzeniach medycznych i laboratoryjnych.

Przepływ między punktami położonymi na różnych wysokościach

Jeżeli płyn przepływa między punktami znajdującymi się na różnych wysokościach, należy uwzględnić składnik \(\rho gh\).

Przykładowo płyn poruszający się w dół traci energię potencjalną. Energia ta może zostać zamieniona na energię kinetyczną, powodując wzrost prędkości, albo na energię związaną z ciśnieniem.

Z kolei podczas przepływu ku górze płyn zyskuje energię potencjalną. Jeżeli nie jest dostarczana dodatkowa energia, może to prowadzić do zmniejszenia jego prędkości lub ciśnienia.

Wypływ cieczy ze zbiornika

Prawo Bernoulliego można wykorzystać do obliczenia prędkości wypływu cieczy przez niewielki otwór znajdujący się w ścianie zbiornika.

Rozważmy otwarty zbiornik, w którym powierzchnia cieczy znajduje się o wysokość \(h\) ponad otworem. Ciśnienie przy powierzchni cieczy i przy otworze jest równe ciśnieniu atmosferycznemu.

Jeżeli zbiornik jest szeroki, prędkość opadania jego swobodnej powierzchni jest znacznie mniejsza od prędkości wypływu cieczy. Z równania Bernoulliego otrzymujemy:

\(\rho gh=\frac{\rho v^2}{2}\)

Po skróceniu przez \(\rho\) i przekształceniu:

\(v=\sqrt{2gh}\)

Zależność tę nazywamy prawem Torricellego. Prędkość wypływu cieczy jest taka sama jak prędkość, którą uzyskałoby ciało spadające swobodnie z wysokości \(h\), jeżeli pominiemy opory ruchu.

Warunki stosowania prawa Bernoulliego

Podstawową postać równania Bernoulliego stosujemy, gdy:

przepływ jest ustalony,
płyn jest praktycznie nieściśliwy,
lepkość płynu i straty energii można pominąć,
porównywane punkty znajdują się na tej samej linii prądu,
między punktami nie ma urządzenia dostarczającego lub odbierającego energię, na przykład pompy albo turbiny.

Rzeczywiste płyny mają lepkość. Podczas ich przepływu część energii mechanicznej zamienia się w energię wewnętrzną. Z tego powodu w rzeczywistych instalacjach występują straty ciśnienia, których podstawowe równanie Bernoulliego nie uwzględnia.

Praktyczne przykłady

Prawo Bernoulliego pomaga wyjaśnić między innymi:

wzrost prędkości i spadek ciśnienia w przewężeniu przewodu,
działanie zwężki Venturiego,
zasysanie cieczy w rozpylaczu,
wypływ cieczy przez otwór w zbiorniku,
działanie rurki Pitota służącej do pomiaru prędkości przepływu,
powstawanie różnicy ciśnień wokół odpowiednio ukształtowanych powierzchni.

W przypadku skrzydeł samolotu prawo Bernoulliego może służyć do opisu związku między lokalną prędkością przepływu a ciśnieniem wokół skrzydła. Pełne wyjaśnienie siły nośnej wymaga jednak uwzględnienia całego pola przepływu, kształtu skrzydła, kąta natarcia oraz zmiany kierunku pędu powietrza.