Charakterystyka ruchu płynów

Zapamiętaj

Linia prądu jest linią, do której wektor prędkości płynu jest styczny w każdym punkcie.

W przepływie ustalonym prędkość płynu w danym punkcie nie zmienia się w czasie.

Objętościowe natężenie przepływu określa objętość płynu przepływającą przez przekrój poprzeczny przewodu w jednostce czasu:

\(Q=\frac{V}{t}\)

Jeżeli płyn przepływa prostopadle przez powierzchnię \(S\) ze średnią prędkością \(v\), to:

\(Q=Sv\)

Dla ustalonego przepływu cieczy nieściśliwej obowiązuje równanie ciągłości strugi:

\(S_1v_1=S_2v_2\)

W przewężeniu przewodu prędkość cieczy rośnie, a w jego szerszej części maleje.

Przepływ płynu jest ruchem cieczy lub gazu, podczas którego poszczególne elementy płynu zmieniają swoje położenie. Przykładami przepływu są ruch wody w rzece, przepływ wody przez rurę, przemieszczanie się powietrza w atmosferze oraz przepływ krwi w naczyniach krwionośnych.

Opis ruchu płynu jest bardziej złożony niż opis ruchu pojedynczego ciała. Płyn składa się z bardzo wielu cząsteczek, które mogą poruszać się z różnymi prędkościami. Zamiast śledzić każdą cząsteczkę osobno, opisujemy prędkość płynu w poszczególnych punktach przestrzeni.

Ruch płynu i linie prądu

W każdym punkcie poruszającego się płynu można określić wektor prędkości. Informuje on, w jakim kierunku i z jaką szybkością porusza się niewielki element płynu znajdujący się w tym punkcie.

Linia prądu jest linią, do której wektor prędkości płynu jest styczny w każdym jej punkcie.

Linie prądu pokazują kierunek ruchu płynu. Im gęściej są rozmieszczone na schemacie przepływu, tym większa jest zwykle prędkość płynu w danym obszarze.

Linie prądu nie mogą się przecinać. Gdyby dwie linie prądu przecinały się, płyn w punkcie przecięcia musiałby poruszać się jednocześnie w dwóch różnych kierunkach.

W przypadku przepływu ustalonego linie prądu nie zmieniają swojego kształtu ani położenia w czasie.

Przepływ ustalony

Przepływ ustalony to taki przepływ, w którym prędkość płynu w każdym ustalonym punkcie przestrzeni nie zmienia się w czasie.

Nie oznacza to, że prędkość płynu jest jednakowa w całym obszarze przepływu. W różnych punktach płyn może mieć różne prędkości. Ważne jest jedynie, aby prędkość w konkretnym punkcie nie zmieniała się wraz z upływem czasu.

Przykładem przepływu ustalonego może być równomierny przepływ wody przez rurę, jeżeli strumień wody nie zmienia się w czasie. Gdy przepływ zostaje uruchomiony, zatrzymany albo gwałtownie się zmienia, mamy do czynienia z przepływem nieustalonym.

Struga płynu

Struga płynu jest częścią poruszającego się płynu ograniczoną liniami prądu.

Powierzchnia utworzona przez linie prądu tworzy boczną powierzchnię strugi. W przepływie ustalonym płyn nie przepływa przez tę powierzchnię, ponieważ jego prędkość jest do niej styczna.

Płyn wpływa więc do strugi przez jeden przekrój poprzeczny, porusza się wewnątrz niej, a następnie wypływa przez inny przekrój.

Rurę, przewód lub fragment rzeki można traktować jako strugę płynu, jeżeli analizujemy przepływ przez ich kolejne przekroje.

Objętościowe natężenie przepływu

Do opisu ilości płynu przepływającego przez przewód wykorzystuje się objętościowe natężenie przepływu.

Objętościowe natężenie przepływu jest równe objętości płynu przepływającej przez określony przekrój poprzeczny w jednostce czasu.

Objętościowe natężenie przepływu obliczamy ze wzoru:

\(Q=\frac{V}{t}\)

gdzie:

\(Q\) – objętościowe natężenie przepływu,
\(V\) – objętość płynu, który przepłynął przez przekrój,
\(t\) – czas przepływu.

Jednostką objętościowego natężenia przepływu w układzie SI jest metr sześcienny na sekundę:

\(\frac{\text{m}^3}{\text{s}}\)

W praktyce stosuje się również inne jednostki, na przykład:

litr na sekundę – \(\frac{\text{l}}{\text{s}}\),
litr na minutę – \(\frac{\text{l}}{\text{min}}\),
metr sześcienny na godzinę – \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\).

Pamiętaj, że:

\(1\ \text{m}^3=1000\ \text{l}\)

Związek natężenia przepływu z prędkością

Rozważmy przewód o polu przekroju poprzecznego \(S\). W czasie \(t\) płyn poruszający się ze średnią prędkością \(v\) pokonuje drogę:

\(l=vt\)

Objętość płynu, który przepłynął przez przekrój, jest równa objętości walca lub graniastosłupa o podstawie \(S\) i długości \(l\):

\(V=Sl\)

Po podstawieniu \(l=vt\) otrzymujemy:

\(V=Svt\)

Dzieląc obie strony równania przez czas \(t\), otrzymujemy:

\(Q=Sv\)

gdzie:

\(Q\) – objętościowe natężenie przepływu,
\(S\) – pole przekroju poprzecznego strugi,
\(v\) – średnia prędkość płynu prostopadła do przekroju.

Ze wzoru wynika, że przy ustalonym polu przekroju natężenie przepływu rośnie wraz z prędkością płynu.

Równanie ciągłości strugi

Rozważmy ustalony przepływ cieczy nieściśliwej przez przewód o zmiennym przekroju. W czasie \(t\) przez pierwszy przekrój przepływa objętość:

\(V_1=S_1v_1t\)

W tym samym czasie przez drugi przekrój przepływa objętość:

\(V_2=S_2v_2t\)

Ciecz jest praktycznie nieściśliwa i nie gromadzi się wewnątrz przewodu. Objętość wpływająca do rozpatrywanego odcinka musi więc być równa objętości z niego wypływającej:

\(V_1=V_2\)

Stąd:

\(S_1v_1t=S_2v_2t\)

Po skróceniu przez czas \(t\) otrzymujemy równanie ciągłości strugi:

\(S_1v_1=S_2v_2\)

Możemy również zapisać:

\(Q_1=Q_2\)

Oznacza to, że w ustalonym przepływie cieczy nieściśliwej objętościowe natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju strugi.

Przepływ przez przewężenie

Z równania ciągłości wynika, że pole przekroju strugi i prędkość cieczy są odwrotnie proporcjonalne.

Jeżeli drugi przekrój jest mniejszy od pierwszego:

\(S_2<S_1\)

to prędkość cieczy w drugim przekroju musi być większa:

\(v_2>v_1\)

Ciecz przyspiesza zatem w przewężeniu przewodu. Gdy przewód staje się szerszy, prędkość cieczy maleje.

Jeżeli pole przekroju przewodu zmaleje dwukrotnie, to przy niezmienionym natężeniu przepływu prędkość cieczy wzrośnie dwukrotnie.

Jeżeli:

\(S_2=\frac{1}{2}S_1\)

to z równania:

\(S_1v_1=S_2v_2\)

otrzymujemy:

\(v_2=2v_1\)

Interpretacja fizyczna równania ciągłości

Równanie ciągłości jest skutkiem zasady zachowania masy. Ciecz przepływająca przez przewód nie może nagle zniknąć ani pojawić się wewnątrz niego.

Jeżeli przewód się zwęża, ta sama objętość cieczy musi w tym samym czasie przepłynąć przez mniejszy przekrój. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy ciecz porusza się szybciej.

Jeżeli przewód się rozszerza, ta sama objętość cieczy przepływa przez większy przekrój, dlatego jej średnia prędkość maleje.

Równanie \(S_1v_1=S_2v_2\) stosujemy bezpośrednio do ustalonego przepływu cieczy, których gęstość można uznać za stałą. W przypadku gazów, których gęstość może się zmieniać, należy uwzględnić również zmianę gęstości.