Strona główna » Matematyka » Prostokąt

Zadanie - prostokąt

Obwód prostokąta jest równy 14, a jego pole jest równe 12. Obliczyć długości boków tego prostokąta.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Oznaczamy długość jednego z boków przez a, drugiego przez b. Korzystamy ze wzoru na obwód kwadratu:

oraz wzoru na pole prostokąta:

Podstawiamy dane i otrzymujemy układ równań z dwoma niewiadomymi. Z pierwszego równania wyznaczamy b i podstawiamy do drugiego.

$\begin{cases}2a+2b=14/:2\\ab=12 \end{cases}\\ \begin{cases}a+b=7\\ab=12 \end{cases}\\ \begin{cases}a=7-b\\b(7-b)=12 \end{cases}$

Rozwiązujemy dalej równanie kwadratowe:

$b(7-b)=12\\ 7b-b^2=12\\ -b^2+7b-12=0\\ \Delta=7^2-4\cdot (-1)\cdot (-12)=49-48=1\\ b_1=\frac{-7-\sqrt{1}}{2\cdot(-1)}=\frac{-7-1}{-2}=4\\ b_2=\frac{-7+\sqrt{1}}{2\cdot(-1)}=\frac{-7+1}{-2}=3$

Podstawiamy obie wartości do pierwszego równania i otrzymujemy:

$\begin{cases}a_1=7-b_1\\b_1=4\end{cases} \ lub \ \begin{cases}a_2=7-b_2\\b_2=3\end{cases}\\ \begin{cases}a_1=7-4\\b_1=4\end{cases} \ lub \ \begin{cases}a_2=7-3\\b_2=3\end{cases}\\ \begin{cases}a_1=3\\b_1=4\end{cases} \ lub \ \begin{cases}a_2=4\\b_2=3\end{cases}$