Nauka » Matematyka » Wariancja i odchylenie standardowe

Zadanie - wariancja i odchylenie standardowe

W pewnej populacji rodzin wykonano ankietę badającą miesięczne średnie wydatki rodziny na kulturę. Wyniki przedstawia tabela:

Średnia wysokość wydatku na kulturę	Liczba rodzin
0 zł	2
50 zł	15
100 zł	158
150 zł	52
200 zł	48
250 zł	12
300 zł	3

a) Oblicz ile średnio ankietowana rodzina wydaje pieniędzy w ciągu miesiąca na kulturę.
b) Wyznacz medianę miesięcznych wydatków na kulturę
c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznych wydatków na kulturę.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\overline{x}=\frac{2\cdot 0+15\cdot 50+158\cdot 100+52\cdot 150+48\cdot 200+12\cdot 250+3\cdot 300}{290}=130,51$
$M=\frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})=\frac{1}{2}(x_{\frac{290}{2}}+x_{\frac{290}{2}+1})=\frac{1}{2}(x_{145}+x_{146})=100\ zl$
$\sigma^2=\frac{2(0-130)^2+15(50-130)^2+158(100-130)^2+52(150-130)^2}{290}+... \\ ...+\frac{48(200-130)^2+12(250-130)^2+3(300-130)^2}{290}=\frac{787500}{290}=2715,5$
$\sigma=\sqrt{2715,5}=52,1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

a) Wyznaczamy średnią wysokość wydatków na kulturę wśród ankietowanych rodzin:

Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną:

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

W pierwszej kolejności musimy określić liczbę ankietowanych n. Sumujemy więc liczby z drugiej kolumny i uzyskujemy wynik: n=2+15+158+52+48+12+3=290

Z tabeli wynika, że dwie rodziny wydają 0 zł, piętnaście rodzin wydaje 50 zł, 158 rodzin wydaje po 100 zł i tak dalej. Zamiast pisać 0+0 piszemy 2·0, zamiast 50+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50+50 piszemy 15·50 i tak dalej, więc skrócimy nieco nasz zapis:

$\overline{x}=\frac{2\cdot 0+15\cdot 50+158\cdot 100+52\cdot 150+48\cdot 200+12\cdot 250+3\cdot 300}{290}=\frac{37850}{290}=130,51\approx 130$

Zatem średni miesięczny wydatek rodziny ankietowanej na kulturę wynosi 130 zł

b) Wyznaczamy medianę miesięcznych wydatków na kulturę

Korzystamy ze wzoru na medianę:

$M=\begin{cases}x_{\frac{n+1}{2}}\ - \ dla\ n \ nieparzystego \\ \frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})\ - \ dla \ n \ parzystego \end{cases}$

Ponieważ n=290, mamy do czynienia z liczbą parzystą. Korzystamy więc z drugiego wzoru:

$M=\frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})=\frac{1}{2}(x_{\frac{290}{2}}+x_{\frac{290}{2}+1})=\frac{1}{2}(x_{145}+x_{146})=$

Jak znaleźć x₁₄₅ i x₁₄₆? Przede wszystkim dane statystyczne muszą być uszeregowane niemalejąco. w tabeli dane mamy już ułożone w ten sposób. Pierwsze dwie dane są równe 0, kolejne 15 są równe 50 zł (to już 17 danych statystycznych), kolejne 158 danych mają wartość 100 zł... Zatem 145-ty wyraz tego ciągu jest równy 100 zł, podobnie jak 146-ty wyraz tego ciągu danych statystycznych. Możemy więc zapisać:

$=\frac{1}{2}(x_{145}+x_{146})=\frac{1}{2}(100\ zl+100\ zl)=100\ zl$

Wynik możemy zinterpretować następująco: połowa rodzin wydaje na kulturę nie więcej niż 100 zł i połowa wydaje na ten sam cel nie mniej niż 100 zł.

c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznych wydatków na kulturę.

Obliczamy wariancję ze wzoru:

$\sigma^2=\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2+...+n_k(x_k-\overline{x})^2}{n}$

Średnią arytmetyczną wyznaczyliśmy w podpunkcie a), wartości n oraz x odczytujemy z tabeli i wstawiamy do wzoru:

$\sigma^2=\frac{2(0-130)^2+15(50-130)^2+158(100-130)^2+52(150-130)^2}{290}+... \\ ...+\frac{48(200-130)^2+12(250-130)^2+3(300-130)^2}{290}=\\ =\frac{2\cdot 130^2+15\cdot 80^2+158\cdot 30^2+52\cdot 20^2+48\cdot 70^2+12\cdot 120^2+3\cdot 170^2}{290}=\\ =\frac{2\cdot 16900+15\cdot 6400+158\cdot 900+52\cdot 400+48\cdot 4900+12\cdot 14400+3\cdot 28900}{290}=\\ =\frac{33800+96000+142200+20800+235200+172800+86700}{290}=\frac{787500}{290}=2715,5$

Odchylenie standardowe obliczamy ze wzoru:

$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$

Mamy więc:

$\sigma=\sqrt{2715,5}=52,1$

Odpowiedź

$\overline{x}= 130\ zl, \ M=100\ zl,\\ \sigma^2=2715,5,\ \sigma=52,1$

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 23, matura 2018
W zestawie 2, 2, 2, ..., 2, 4, 4, 4, ..., 4 liczb jest 2m liczb (m ≥1) , w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

2
1
1\√2
√2

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.