Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja i odchylenie standardowe to jedne z najważniejszych pojęć w statystyce oraz analizie błędu pomiarowego. Służą do określenia, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej.

Choć brzmią podobnie, nie oznaczają tego samego — są jednak ze sobą bezpośrednio powiązane.

W fizyce, dokonując pomiaru pewnej wielkości zwykle wykonujemy go wielokrotnie. Często najlepszym przybliżeniem mierzonej wielkości jest średnia arytmetyczna. Jak bardzo poszczególne wyniki różnią się od tej średniej wartości i jakie wielkości opisują to rozproszenie?

Co to jest wariancja?

Wariancja to miara, która pokazuje, jak bardzo wartości w zbiorze różnią się od średniej. Mówiąc prościej: im większa wariancja, tym większe rozrzucenie danych

Wzór na wariancję:

Wariancja \(\sigma^2\) zestawu liczb \(x_1,x_2,...,x_k\), z których \(x_1\) powtarza się \(n_1\) razy, ..., \(x_k\) powtarza się \(n_k\) razy, jest to liczba określona wzorem:

\(\sigma^2=\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2+...+n_k(x_k-\overline{x})^2}{n}\)

Można dla ułatwienia stosować także wzór:

\(\sigma^2=\frac{n_1x_1^2+n_2x_2^2+...+n_kx_k^2}{n}-\overline{x}^2\)

Jeżeli dany pomiar tej samej wielkości powtarzamy \(N\) razy i otrzymujemy wyniki \(x_1, x_2, ... x_i,...x_n\), to zapamietaj wzór:

\(\sigma^2=\frac{1}{N}\sum{(x_i-\bar{x})^2}\)

Ozaczenia:

\(\bar{x}\) - średnia arytmetyczna wartości kolejno \(x_1,x_2,..,.x_i,...,x_n\)

Czyli:

liczysz średnią arytmetyczną
odejmujesz ją od każdej wartości
podnosisz wynik do kwadratu
liczysz średnią z tych wartości

Co to jest odchylenie standardowe?

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji.

Wariancja jest miarą rozproszenia danych w kwadratach jednostek, w których dokonujemy pomiaru. Aby stosować tę samą jednostkę dla badania rozproszenia, stosujemy pojęcie odchylenia standardowego, które obliczamy ze wzoru:

Dzięki temu wynik jest w tej samej jednostce co dane (np. zł, cm, sekundy)

Wzór:

\(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\)

czyli:

\(\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum{(x_i-\bar{x})^2}}\)

Uwaga!

Istnieje także inna definicja odchylenia standardowego. Oto ona:

\(\sigma=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum{(x_i-\bar{x})^2}}\)

Ta druga definicja częściej wykorzystywana jest w analizie błędów pomiarowych i daje nieznacznie większe wartości niż pierwsza z definicji.Gdyby rozpatrywać pomiar jeden, drugi z wzorów nie jest określony matematycznie (dzielenie przez zero) i faktycznie w takim przypadku mamy nic nie możemy powiedzić o niepewności pomiaru. W opracowaniach naukowych należy zawsze zaznaczać, z której definicji korzystamy.

Pierwszy ze wzorów to tak zwane osdchylenie standardowe populacji, drugi to tak zwane odchylenie standardowe poróby.

Przykład – krok po kroku

Weźmy dane: 2, 4 i 6

1. Średnia arytmetyczna

Obliczamy średnią arytmetyczną:

\(\bar{x}=\frac{2+4+6}{3}=\frac{12}{3} = 4\)

2. Odchylenia od średniej:

\( 2 → -2 \)
\(4 → 0 \)
\( 6 → +2 \)

Uwaga! Zauważ, że gdybyśmy obliczyli średnią arytmetyczną odchyleń, otrzymalibyśmy zero, dlatego liczymy wariancję jako sumę kwadratów podzieloną przez liczbę pomiarów (danych).

3. Kwadraty odchyleń:

\(2 → -2 → 4\)
\( 4 → 0 → 0\)
\(6 → +2 → 4\)

4. Wariancja:

\(\bar{x}=\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3} = 2,67\)

5. Odchylenie standardowe:

\(\sqrt{2.67} \approx 1.63\)

A oto inny przykład wyliczenia odchylenia standardowego na podstawie ćwiczenia w naszym wirtualnym laboratorium.

przykład odchylenia standardowego

Możesz sam wykonać pomiary i obliczeni ana przykładzie doświadczenia: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła.

Kalkulator odchylenia standardowego

Kalkulator

Oblicza średnią, wariancję i odchylenie standardowe — w wariancie populacyjnym (σ) oraz próbkowym (s).

Wprowadź liczby (oddzielone spacją, przecinkiem lub nową linią)

Pokaż kroki

Liczność (n)

—

Suma

—

Średnia (x̄)

—

Populacja

σ² (wariancja) —

        σ (odch. stand.)
        —
      

Próba

s² (wariancja) —

        s (odch. stand.)
        —
      

Pytania

Jak interpretować odchylenie standardowe?

małe odchylenie → dane są blisko średniej
duże odchylenie → dane są rozproszone

Do czego się używa wariancji i odchylenia standardowego?

Wariancja i odchylenie standardowe stosuje się m.in. w:

statystyce i analizie danych
finansach (ryzyko inwestycji)
badaniach naukowych
uczeniu maszynowym
kontroli jakości

Jak obliczyć odchylenie standardowe w Excelu?

W Excelu możesz użyć funkcji:

=ODCH.STANDARDOWE() (starsze wersje)
=STDEV.S() – dla próby
=STDEV.P() – dla całej populacji

Czy wariancja i odchylenie standardowe to to samo?

Nie — odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji.

Która miara jest ważniejsza?

W praktyce częściej używa się odchylenia standardowego, bo jest łatwiejsze do interpretacji.

Czy zawsze trzeba liczyć wariancję?

Tak — bo odchylenie standardowe jest na jej podstawie.

Podsumowanie

wariancja pokazuje rozrzut danych w sposób „matematyczny”;
odchylenie standardowe pokazuje go w sposób „praktyczny”;
oba pojęcia są ze sobą bezpośrednio powiązane;

Jeśli chcesz zrozumieć dane — patrz na odchylenie standardowe.
Jeśli liczysz statystykę — zaczynasz od wariancji.

Wariancja a odchylenie standardowe – różnice

Cecha	Wariancja	Odchylenie standardowe
Definicja	średnia z kwadratów odchyleń	pierwiastek z wariancji
Jednostka	kwadrat jednostki (np. cm²)	normalna jednostka (np. cm)
Interpretacja	trudniejsza	łatwiejsza
Zastosowanie	analiza matematyczna	praktyczna interpretacja

Ćwiczenia

Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.

Nie jesteś zalogowany.

Z jajka nic się nie wykluje, a Twoja populacja dziobaków nie przetrwa po opuszczeniu strony... Zaloguj się

Aby otworzyć złote jaja, musisz posiadać Plan Premium.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

W pewnej populacji rodzin wykonano ankietę badającą miesięczne średnie wydatki rodziny na kulturę. Wyniki przedstawia tabela:

Średnia wysokość wydatku na kulturę	Liczba rodzin
0 zł	2
50 zł	15
100 zł	158
150 zł	52
200 zł	48
250 zł	12
300 zł	3

a) Oblicz ile średnio ankietowana rodzina wydaje pieniędzy w ciągu miesiąca na kulturę.

b) Wyznacz medianę miesięcznych wydatków na kulturę.

c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznych wydatków na kulturę.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

W zestawie \(2, 2, 2, ..., 2, 4, 4, 4, ..., 4\) liczb jest \(2m\) liczb (\(m\geq 1\)) , w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Powiązane materiały

Średnia arytmetyczna

Średnia ważona

Mediana

Pojęcia podstawowe statystyki

Bibliografia

Wykaz całej bibliografii dla wszystkich artykułów opublikowanych w niniejszym serwisie znajduje się w odnośniku w stopce. Poniżej znajduje się wykaz publikacji, które w szczególności były wykorzystywane w przygotowaniu niniejszego artykułu:

John R. Taylor - Wstęp do analizy błędu pomiarowego, ISBN 978-83-01-12876-0, PWN 2012
R. S. Guter, B. W. Owczyński - Matematyczne opracowanie wyników doświadczeń, PWN 1967
I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiendiajew, G. Musiol, H.Muhlig - Nowoczesne Kompendium Matematyki, ISBN 83-01-14148-4, PWN 2004
Roman Leitner, Wojciech Żakowski - Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne cz. I i II, ISBN 83-204-1027-4, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 1989