Wariancja i odchylenie standardowe

Definicja

Wariancja \(\sigma^2\) zestawu liczb \(x_1,x_2,...,x_k\), z których \(x_1\) powtarza się \(n_1\)> razy, ..., \(x_k\) powtarza się \(n_k\) razy jest to liczba określona wzorem:

\(\sigma^2=\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2+...+n_k(x_k-\overline{x})^2}{n}\)

Można dla ułatwienia stosować także wzór:

\(\sigma^2=\frac{n_1x_1^2+n_2x_2^2+...+n_kx_k^2}{n}-\overline{x}^2\)

Wariancja jest miarą rozproszenia danych w kwadratach jednostek, w których dokonujemy pomiaru. Aby stosować tę samą jednostkę dla badania rozproszenia stosujemy pojęcie odchylenia standardowego, które obliczamy ze wzoru:

\(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

W pewnej populacji rodzin wykonano ankietę badającą miesięczne średnie wydatki rodziny na kulturę. Wyniki przedstawia tabela:

Średnia wysokość wydatku na kulturę	Liczba rodzin
0 zł	2
50 zł	15
100 zł	158
150 zł	52
200 zł	48
250 zł	12
300 zł	3

a) Oblicz ile średnio ankietowana rodzina wydaje pieniędzy w ciągu miesiąca na kulturę.
b) Wyznacz medianę miesięcznych wydatków na kulturę
c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznych wydatków na kulturę.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

W zestawie 2, 2, 2, ..., 2, 4, 4, 4, ..., 4 liczb jest 2m liczb (m ≥1) , w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

2
1
1\√2
√2

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Średnia arytmetyczna

Wzór na średnią arytmetyczną. Średniej arytmetycznej używamy wówczas, kiedy opracowując dane statystyczne chcemy scharakteryzować pewien cały ich zestaw.

Średnia ważona

Średniej ważonej używamy, gdy opracowując dane chcemy scharakteryzować pewien cały ich zestaw i dodatkowo pewne dane mają większe znaczenie od innych.

Mediana

Mediana dzieli zestaw danych na dwie części, jedną zawierającą dane nie większe, a druga - nie mniejsze od mediany.

Dominanta

Dominanta D (wartość modalna) zestawu danych statystycznych jest to wartość, która występuje w zestawie danych najczęściej.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.