Mediana

Co to jest mediana? Jak obliczyć medianę? Zacznijmy od definicji.

Definicja

Mediana (wartość środkowa) zestawu niemalejących danych statystycznych (liczb rzeczywistych) jest to liczba M, która dzieli ten zestaw na liczb na dwie części o równej liczebności i określona jest wzorem:

$M=\begin{cases}x_{\frac{n+1}{2}}\ - \ dla\ n \ nieparzystego \\ \frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})\ - \ dla \ n \ parzystego \end{cases}$

Mediana dzieli zestaw danych na dwie części, jedną zawierającą dane nie większe, a druga - nie mniejsze od mediany.

Powyższy wzór na medianę zastosujemy na przykładzie.

Przykłady

Przykład

Dla ciągu liczb (1,2,3,4,5), liczba 3 jest medianą tego ciągu.

Przykład

Dany jest zestaw liczb: 5,8,5,6,2,1,8,9. Wyznaczyć medianę tego zestawu.

Najpierw musimy uporządkować zestaw niemalejąco: 1,2,5,5,6,8,8,9.
Liczba danych n=8 i jest liczbą parzystą. Stosujemy drugi wzór.
$M=\frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})=\frac{1}{2}(x_{\frac{8}{2}}+x_{\frac{8}{2}+1})=\frac{1}{2}(x_4+x_{5})=\frac{1}{2}(5+6)=5,5$

Przykład

Mediana uporządkowanego zestawu danych to:

Dla nieparzystej liczby danych - liczba, która znajduje się w środku zestawu: 1,5,8,9,10, czyli 8.
Dla parzystej liczby danych - średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb w danym zestawie: 1,5,4,8,9,10, czyli (4+8)/2=6.

Pytania

Kiedy mediana ma zastosowanie?

Podamy inny niż wyżej przykład. Załóżmy, że 50 drużyn z Polski walczy w turnieju gier sieciowych i co miesiąc podawane są wyniki punktowe tych drużyn. Gdy obliczymy medianę wyników drużyn, a nasz wynik będzie zbliżony do mediany, to liczba ta nam powie, że mniej więcej tyle samo drużyn nas wyprzedza co jest za nami. w rankingu.

Jeżeli twoje zarobki w grupie pracowników na tym samym stanowisku pracy jest równa pewnej kwocie, a mediana zarobków jest równa tej kwocie, to znaczy, że tyle samo pracowników zarabia lepiej od ciebie, ile jest osób gorzej zarabiających.

Czy można obliczać medianę z liczb ujemnych i ułamków?

Tak. Stosujemy medianę dla dowolnych liczb rzeczywistych.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Mediana

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest zestaw liczb:
a) 100,55,1,1000,2,333,4,55,2000.
b) 0,1,5,11,-4,9,1,-5.
Wyznaczyć medianę tego zestawu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa x/2. Mediana tych liczb jest równa

A. 26
B. 27
C. 28
D. 29

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Mediana zestawu danych 2, 12, a, 10, 5, 3 jest równa 7. Wówczas:

A. a=4
B. a=6
C. a=7
D. a=9

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem

A. a=7

B. a=12

C. a=14

D. a=20

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Cztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem

A. a=7

B. a=6

C. a=5

D. a=4

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Sześciowyrazowy ciąg liczbowy (1, 2, 2x, x + 2, 5, 6) jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa 4. Wynika stąd, że

A. x = 1

B. x = 3/2

C. x = 2

D. x = 8/3

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Średnia arytmetyczna

Wzór na średnią arytmetyczną. Średniej arytmetycznej używamy wówczas, kiedy opracowując dane statystyczne chcemy scharakteryzować pewien cały ich zestaw.

Średnia ważona

Średniej ważonej używamy, gdy opracowując dane chcemy scharakteryzować pewien cały ich zestaw i dodatkowo pewne dane mają większe znaczenie od innych.

Dominanta

Dominanta D (wartość modalna) zestawu danych statystycznych jest to wartość, która występuje w zestawie danych najczęściej.

Wariancja i odchylenie standardowe

Definicja wariancji oraz odchylenia standardowego.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.

Powiązane quizy

Średnia i mediana

Szkoła podstawowa
Klasa 8
Liczba pytań: 15