Mediana

Co to jest mediana? Jak obliczyć medianę? Zacznijmy od definicji.

Mediana (wartość środkowa) zestawu niemalejących danych statystycznych (liczb rzeczywistych) \(x_1,x_2,...,x_n\) jest to liczba \(M\), która dzieli ten zestaw liczb na dwie części o równej liczebności i określona jest wzorem:

\(M=\begin{cases}x_{\frac{n+1}{2}}\ - \ dla\ n \ nieparzystego \\ \frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})\ - \ dla \ n \ parzystego \end{cases}\)

Mediana dzieli zestaw danych na dwie części, jedną zawierającą dane nie większe, a druga — nie mniejsze od mediany.

Powyższy wzór na medianę zastosujemy na przykładzie.

Przykład 1

Dla ciągu liczb \((1,2,3,4,5)\), liczba \(3\) jest medianą tego ciągu.

Przykład 2

Dany jest zestaw liczb: \(5,8,5,6,2,1,8,9\). Wyznaczyć medianę tego zestawu.

Najpierw musimy uporządkować zestaw niemalejąco: \(1,2,5,5,6,8,8,9\).

Liczba danych \(n=8\) i jest liczbą parzystą. Stosujemy drugi wzór.

\(M=\frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}) =\)

=\(\frac{1}{2}(x_{\frac{8}{2}}+x_{\frac{8}{2}+1}) =\)

\(=\frac{1}{2}(x_4+x_{5}) = \frac{1}{2}(5+6)=5,5\)

Przykład 3

Mediana uporządkowanego zestawu danych to:

Dla nieparzystej liczby danych — liczba, która znajduje się w środku zestawu: \(1, 5,\) 8, \(9, 10\), czyli \(8\).
Dla parzystej liczby danych — średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb w danym zestawie: \(1,5,\) 4, 8, \(9,10\), czyli \(\frac{4+8}{2}=6\).

Pytania

Kiedy mediana ma zastosowanie?

Podamy inny niż wyżej przykład. Załóżmy, że 50 drużyn z Polski walczy w turnieju gier sieciowych i co miesiąc podawane są wyniki punktowe tych drużyn. Gdy obliczymy medianę wyników drużyn, a nasz wynik będzie zbliżony do mediany, to liczba ta nam powie, że mniej więcej tyle samo drużyn nas wyprzedza, co jest za nami. w rankingu.

Jeżeli twoje zarobki w grupie pracowników na tym samym stanowisku pracy jest równa pewnej kwocie, a mediana zarobków jest równa tej kwocie, to znaczy, że tyle samo pracowników zarabia lepiej od ciebie, ile jest osób gorzej zarabiających.

Czy można obliczać medianę z liczb ujemnych i ułamków?

Tak. Stosujemy medianę dla dowolnych liczb rzeczywistych.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest zestaw liczb:

a) \(100,55,1,1000,2,333,4,55,2000\).

b) \(0,1,5,11,-4,9,1,-5\).

Wyznaczyć medianę tego zestawu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych \(31, 16, 25, 29, 27, x\) jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa

A. 26

B. 27

C. 28

D. 29

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Mediana zestawu danych \(2, 12, a, 10, 5, 3\) jest równa \(7\). Wówczas:

A. \(a=4\)

B. \(a=6\)

C. \(a=7\)

D. \(a=9\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Mediana zestawu sześciu danych liczb \(4, 8, 21, a, 16, 25\) jest równa \(14\). Zatem

A. \(a=7\)

B. \(a=12\)

C. \(a=14\)

D. \(a=20\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Cztery liczby: \(2, 3, a, 8\), tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: \(5, 3, 6, 8, 2\). Zatem

A. \(a=7\)

B. \(a=6\)

C. \(a=5\)

D. \(a=4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Sześciowyrazowy ciąg liczbowy \((1, 2, 2x, x + 2, 5, 6)\) jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa \(4\). Wynika stąd, że

A. \(x=1\)

B. \(x=\frac{3}{2}\)

C. \(x=2\)

D. \(x=\frac{8}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.