Nauka » Matematyka » Wykres funkcji z wartością bezwzględną

Zadanie maturalne nr 1, matura 2019 - poziom rozszerzony

Funkcja f jest określona wzorem

$\f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|$ ,

dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ −2 . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy symbolem |x| i określamy w następujący sposób:

$|x| = \\begin{cases} x \\text{ dla x\\geq 0} \\\\-x \\text{ dla x<0}\\end{cases}$

Rozpatrzymy cztery różne przypadki:

Przypadek 1

$\begin{cases}x+2\geq 0 \\ x-1\geq 0\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq -2 \\ x\geq 1\end{cases}$

$x\in \langle 1;+\infty) $

Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne:

$f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|$

$f(x)=\frac{x+2}{x+2}-x+3(x-1)$

$f(x)=1-x+3x-3$

$f(x)=2x-2$

To jest wzór funkcji w określonym wyżej przedziale.

Przypadek 2

$\begin{cases}x+2< 0 \\ x-1< 0\end{cases}$

$\begin{cases}x< -2 \\ x< 1\end{cases}$

$x\in (-\infty;-2) $

Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne ze zmienionym znakiem:

$f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|$

$f(x)=\frac{-(x+2)}{x+2}-x+3(-x+1)$

$f(x)=-1-x-3x+3$

$f(x)=-4x+2$

Przypadek 3

$\begin{cases}x+2\geq 0 \\ x-1< 0\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq -2 \\ x< 1\end{cases}$

$x\in \langle -2;1) $

Mamy więc:

$f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|$

$f(x)=\frac{x+2}{x+2}-x+3(-x+1)$

$f(x)=1-x-3x+3$

$f(x)=-4x+4$

Przypadek 4

$\begin{cases}x+2< 0 \\ x-1\geq 0\end{cases}$

$\begin{cases}x< -2 \\ x\geq 1\end{cases}$

$x\in \emptyset $

Sporządzamy wykres w każdym z przedziałów.

wykres

Z wykresu możemy odczytać zbiór wartości funkcji.

Odpowiedź

$f(x)\in \langle 0;+\infty)$

Zadania podobne

Zadanie - wykres funkcji z wartością bezwzględną y=|x+1|
Sporządzić wykres funkcji

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.