Zadanie maturalne nr 1, matura 2019 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq −2\) wzorem:
\(f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|\)
Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
Rozwiązanie zadania
Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:
Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy symbolem |x| i określamy w następujący sposób:
Rozpatrzymy cztery różne przypadki:
Przypadek 1
\(\begin{cases}x+2\geq 0 \\ x-1\geq 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x\geq -2 \\ x\geq 1\end{cases}\)
\(x\in \langle 1;+\infty) \)
Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne:
\(f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|\)
\(f(x)=\frac{x+2}{x+2}-x+3(x-1)\)
\(f(x)=1-x+3x-3\)
\(f(x)=2x-2\)
To jest wzór funkcji w określonym wyżej przedziale.
Przypadek 2
\(\begin{cases}x+2< 0 \\ x-1< 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x< -2 \\ x< 1\end{cases}\)
\(x\in (-\infty;-2) \)
Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne ze zmienionym znakiem:
\(f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|\)
\(f(x)=\frac{-(x+2)}{x+2}-x+3(-x+1)\)
\(f(x)=-1-x-3x+3\)
\(f(x)=-4x+2\)
Przypadek 3
\(\begin{cases}x+2\geq 0 \\ x-1< 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x\geq -2 \\ x< 1\end{cases}\)
\(x\in \langle -2;1) \)
Mamy więc:
\(f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|\)
\(f(x)=\frac{x+2}{x+2}-x+3(-x+1)\)
\(f(x)=1-x-3x+3\)
\(f(x)=-4x+4\)
Przypadek 4
\(\begin{cases}x+2< 0 \\ x-1\geq 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}x< -2 \\ x\geq 1\end{cases}\)
\(x\in \emptyset \)
Sporządzamy wykres w każdym z przedziałów.
Z wykresu możemy odczytać zbiór wartości funkcji.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-02-12, ZAD-4700
