Zadanie maturalne nr 14, matura 2021 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Dane są parabola o równaniu y = x2 oraz punkty A = (0, 2) i B = (1, 3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.
a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.
b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.
Rozwiązanie zadania
Rozwiązujemy część pierwszą zadania.
Część pierwsza
Dowolny punkt C na paraboli o równaniu \(y=x^2\) i pierwszej współrzędnej \(m\) ma współrzędne \(C=(m,m^2)\).
Aby policzyć pole trójkąta ABC dane wzorem \(P=\frac{1}{2}ah\), gdzie \(a=|AB|\), a \(h\) jest wysokością tego trójkąta, opuszczoną z punktu C na odcinek AB.
Obliczmy długość odcinka AB. Ponieważ \(A = (0, 2)\) i \(B=(1, 3)\), to:
\(|AB|=\sqrt{(1-0)^2+(3-2)^2}\)=\sqrt{2}\)
Wysokość obliczymy ze wzoru na odległość punktu C od prostej AB.
Odległość punktu \(P=(x_0,y_0)\) od prostej \(Ax+By+C=0\) wyrażona jest wzorem: \(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
Szukamy równania prostej AB: \(y=ax+b\)
\(\begin{cases} 2=0\cdot a +b\\ 3=1\cdot a+b\end{cases}\)
\(\begin{cases} b=2\\ a=1\end{cases}\)
\(y=x+2\)
\(x-y+2=0\)
\(A=1, B=-1, C=2\)
Punkt \(C=(m, m^2)\)
\(h=\frac{|m-m^2+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)
\(h=\frac{|m-m^2+2|}{\sqrt{2}}\)
Zatem pole trójkąta ABC można wyrazić jako:
\(P=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot h = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{|m-m^2+2|}{\sqrt{2}} =\frac{1}{2}|m-m^2+2|\)
Sprawdźmy kiedy pole to przyjmuje wartości zero.
\(P=0\)
\(\frac{1}{2}|m-m^2+2|=0\)
\(-m^2+m+2=0\)
\(\Delta=1+8=9\)
\(m=\frac{-1-3}{-2}=2\) lub \(m=\frac{-1+3}{-2}=-1\)
Są to przypadki, w których punkt C leży na prostej AB i musimy je wykluczyć.
Część druga
Kąty CAB, ABC i ACB są ostre wtedy, gdy cosinusy tych kątów są dodatnie.
\(\cos{|\angle CAB|}>0\)
\(\cos{|\angle ABC|}>0\)
\(\cos{|\angle ACB|}>0\)
Wprowadźmy oznaczenia:
\(a=|BC|\)
\(b=|AC|\)
\(c=|AB|\)
Ponadto twierdzenia cosinusów otrzymujemy:
\(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}>0\)
\(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}>0\)
\(\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}>0\)
Aby powyższe nierówności były spełnione, liczniki ułamków muszą być dodatnie:
\(b^2+c^2-a^2>0\)
\(a^2+c^2-b^2>0\)
\(b^2+a^2-c^2>0\)
Ponieważ:
\(A = (0, 2)\)
\(B=(1, 3)\)
\(C=(m, m^2)\)
to:
\(a=|BC|=\sqrt{(m-1)^2+(m^2-3)^2}\)
\(b=|AC|=\sqrt{(m^2+(m^2-2)^2}\)
\(c=|AB|=\sqrt{2}\)
\(a^2=(m-1)^2+(m^2-3)^2\)
\(b^2=m^2+(m^2-2)^2\)
\(c^2=2\)
Podstawiamy powyższe równości do pierwszej z nierówności:
\(b^2+c^2-a^2>0\)
\(m^2+(m^2-2)^2+2-(m-1)^2-(m^2-3)^2>0\)
\(m^2+m^4-4m^2+4+2-[(m^2-2m+1)+(m^4-6m^2+9)]>0\)
\(-3m^2+m^4+6-m^2+2m-1-m^4+6m^2-9>0\)
\(2m^2+2m-4>0\)
\(2m^2+2m-4>0/:2\)
\(m^2+m-2>0/:2\)
\(\Delta=1+8=9\)
\(m_1=\frac{-1-3}{2}=-2\)
\(m_2=\frac{-1+3}{2}=1\)
\(m\in (-\infty;-2)\cup (1;\infty)\)
Rozwiązujemy drugą nierówność:
\(a^2+c^2-b^2>0\)
\((m-1)^2+(m^2-3)^2+2-m^2-(m^2-2)^2>0\)
Po przekształceniach otrzymujemy:
\(-2m^2-2m+8>0\)
\(\Delta=68\)
\(m_1=\frac{2-\sqrt{68}}{-4}=\frac{2-2\sqrt{17}}{-4}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\)
\(m_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\)
\(m\in (\frac{-1-\sqrt{17}}{2}; \frac{-1+\sqrt{17}}{2})\)
Uwzględniając wynik z pierwszej nierówności mamy:L
\(m\in (\frac{-1-\sqrt{17}}{2};-2)\cup (1; \frac{-1+\sqrt{17}}{2})\)
Zbadajmy jeszcze trzecią nierówność:
\(b^2+a^2-c^2>0\)
\(m^2+(m^2-2)^2+(m-1)^2+(m^2-3)^2-2>0\)
\(m^2+m^4-4m^2+4+m^2-2m+1+m^4-6m^2+9 -2>0\)
\(2m^4-8m^2-2m+12>0/:2\)
\(m^4-4m^2-m+6>0\)
Przekształcamy powyższe wyrażenie z lewej strony nierówności:
\((m^4-4m^2+4)-m+2>0\)
\((m^2-2)^2+2-m>0\)
Dla każdej wartości \(m<2\) powyższa nierówność jest prawdziwa, a ponieważ
\(\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<2\), to powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich \(m\in (\frac{-1-\sqrt{17}}{2};-2)\cup (1; \frac{-1+\sqrt{17}}{2})\).
Stąd trójkąt ABC jest prostokątny dla \(m\in (\frac{-1-\sqrt{17}}{2};-2)\cup (1; \frac{-1+\sqrt{17}}{2})\).
© medianauka.pl, 2023-04-08, ZAD-4839
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Punkt \(A=(−3,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y=x-1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.