Zadanie maturalne nr 14, matura 2022 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy:

Obliczmy wysokość trójkąta ABC jako odległość punktu A od danej prostej.

W tym celu przekształcamy nasze równanie prostej do postaci:

\(x-y-1=0\)

\(h=\frac{|-3-2-1|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}= \frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\)

Pole naszego trójkąta jest równe:

\(P=\frac{1}{2}|BC|\cdot h\)

\(15=\frac{1}{2}|BC|\cdot 3\sqrt{2}\)

\(|BC|\cdot 3\sqrt{2}=30/:3\sqrt{2}\)

\(|BC|=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\)

Z warunków zadania wynika, że mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, więc:

\(|AC|=5\sqrt{2}\)

Niech punkt \(C\) ma współrzędne \(C=(x_C,y_C)\). Ponieważ punkt ten leży na prostej \(y=x-1\), to \(C=(x_C,x_C-1)\).

\(|AC|=\sqrt{(x_C-(-3))^2+(x_C-1-2)^2}=5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{(x_C+3)^2+(x_C-3)^2}=5\sqrt{2}/^2\)

\(x_C^2+6x_C+9+x_C^2-6x_C+9=50\)

\(2x_C^2-32=0\)

\(x_C^2-16=0\)

\((x_C-4)(x_C+4)=0\)

\(x_C=4\) lub \(x_C=-4\)

\(C=(4,2)\) lub \(C=(-4,-5)\)

Poszukamy współrzędnych punktu \(B=(x_B,x_B-1)\).

Przypadek 1

Dla \(C=(4,3)\) mamy:

\(|BC|=\sqrt{(4-x_B)^2+(3-(x_B-1))^2}=5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{(4-x_B)^2+(4-x_B)^2}=5\sqrt{2}/^2\)

\(2(4-x_B)^2=50\)

\((4-x_B)^2=25\)

\(4-x_B=5\) lub \(4-x_B=-5\)

\(-x_B=1\) lub \(-x_B=-9\)

\(x_B=-1\) lub \(x_B=9\)

\(B=(-1,-2)\) lub \(B=(9,8)\)

Przypadek 2

Dla \(C=(-4,-5)\) mamy:

\(|BC|=\sqrt{(-4-x_B)^2+(-5-(x_B-1))^2}=5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{(-4-x_B)^2+(-4-x_B)^2}=5\sqrt{2}/^2\)

\(2(-4-x_B)^2=50\)

\((-4-x_B)^2=25\)

\(-4-x_B=5\) lub \(-4-x_B=-5\)

\(-x_B=9\) lub \(-x_B=-1\)

\(x_B=-9\) lub \(x_B=1\)

\(B=(1,0)\) lub \(B=(-9,-10)\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-04-29, ZAD-4892

Zadania podobne

Dane są parabola o równaniu y = x² oraz punkty A = (0, 2) i B = (1, 3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.

a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.

b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.