Zadanie maturalne nr 14, matura 2022 - poziom rozszerzony


Punkt \(A=(−3,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y=x-1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy:

Rysunek

Obliczmy wysokość trójkąta ABC jako odległość punktu A od danej prostej.

W tym celu przekształcamy nasze równanie prostej do postaci:

\(x-y-1=0\)

\(h=\frac{|-3-2-1|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}= \frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\)

Pole naszego trójkąta jest równe:

\(P=\frac{1}{2}|BC|\cdot h\)

\(15=\frac{1}{2}|BC|\cdot 3\sqrt{2}\)

\(|BC|\cdot 3\sqrt{2}=30/:3\sqrt{2}\)

\(|BC|=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\)

Z warunków zadania wynika, że mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, więc:

\(|AC|=5\sqrt{2}\)

Niech punkt \(C\) ma współrzędne \(C=(x_C,y_C)\). Ponieważ punkt ten leży na prostej \(y=x-1\), to \(C=(x_C,x_C-1)\).

\(|AC|=\sqrt{(x_C-(-3))^2+(x_C-1-2)^2}=5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{(x_C+3)^2+(x_C-3)^2}=5\sqrt{2}/^2\)

\(x_C^2+6x_C+9+x_C^2-6x_C+9=50\)

\(2x_C^2-32=0\)

\(x_C^2-16=0\)

\((x_C-4)(x_C+4)=0\)

\(x_C=4\) lub \(x_C=-4\)

\(C=(4,2)\) lub \(C=(-4,-5)\)

Poszukamy współrzędnych punktu \(B=(x_B,x_B-1)\).

Przypadek 1

Dla \(C=(4,3)\) mamy:

\(|BC|=\sqrt{(4-x_B)^2+(3-(x_B-1))^2}=5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{(4-x_B)^2+(4-x_B)^2}=5\sqrt{2}/^2\)

\(2(4-x_B)^2=50\)

\((4-x_B)^2=25\)

\(4-x_B=5\) lub \(4-x_B=-5\)

\(-x_B=1\) lub \(-x_B=-9\)

\(x_B=-1\) lub \(x_B=9\)

\(B=(-1,-2)\) lub \(B=(9,8)\)

Przypadek 2

Dla \(C=(-4,-5)\) mamy:

\(|BC|=\sqrt{(-4-x_B)^2+(-5-(x_B-1))^2}=5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{(-4-x_B)^2+(-4-x_B)^2}=5\sqrt{2}/^2\)

\(2(-4-x_B)^2=50\)

\((-4-x_B)^2=25\)

\(-4-x_B=5\) lub \(-4-x_B=-5\)

\(-x_B=9\) lub \(-x_B=-1\)

\(x_B=-9\) lub \(x_B=1\)

\(B=(1,0)\) lub \(B=(-9,-10)\)

 

ksiązki Odpowiedź

Warunki zadania spełniają następujące pary punktów:

  • \(C=(4,3), B=(-1,-2)\)
  • \(C=(4,3), B=(9,8)\)
  • \(C=(-4,-5), B=(1,0)\)
  • \(C=(-4,-5), B=(-9,-10)\)

© medianauka.pl, 2023-04-29, ZAD-4892

Zadania podobne

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Dane są parabola o równaniu y = x2 oraz punkty A = (0, 2) i B = (1, 3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.

a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.

b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.

Zadanie 14, matura 2021, matematyka



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.