Strona główna » Matematyka » Równanie dwukwadratowe

Zadanie - równanie dwukwadratowe

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie zadania uproszczone

$8x^4-6x^2+1=0\\ x^2=t \\ 8t^2-6t+1=0$
$\Delta_t=(-6)^2-4\cdot 8=4\\ t_1=\frac{6-2}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\\ t_2=\frac{6+2}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$
$x^2=\frac{1}{4}\\ x^2-\frac{1}{4}=0 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})=0\\ x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{2}$
$x^2=\frac{1}{2}\\ x^2-\frac{1}{2}=0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt{2}})(x+\frac{1}{\sqrt{2}})=0\\ x_3=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ x_4=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ x_3=\frac{\sqrt{2}}{2}, \ x_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{2}, \ x_3=\frac{\sqrt{2}}{2}, \ x_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Mamy do czynienia z równaniem dwukwadratowym, w związku z tym stosujemy proste podstawienie:

$8x^4-6x^2+1=0\\ 8(x^2)^2-6x^2+1=0 \\ x^2=t \\ 8t^2-6t+1=0$

Teraz rozwiązujemy zwykłe równanie kwadratowe:

$a=8\\ b=-6 \\c=1 \\ \Delta_t=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 8=4\\ \sqrt{\Delta_t}=\sqrt{4}=2\\ t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_t}}{2a}=\frac{6-2}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\\ t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_t}}{2a}=\frac{6+2}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$

Wracamy do zmiennej x. Mamy wówczas do rozwiązania dwa równania:

$x^2=\frac{1}{4}\\ x^2-\frac{1}{4}=0 \\ (x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})=0\\ x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{2}$

Skorzystaliśmy tutaj z rozkładu trójmianu na czynniki liniowe za pomocą wzoru skróconego mnożenia a²-b²=(a+b)(a-b)

Drugie równanie:

$x^2=\frac{1}{2}\\ x^2-\frac{1}{2}=0 \\ (x-\frac{1}{\sqrt{2}})(x+\frac{1}{\sqrt{2}})=0\\ x_3=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ x_4=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ x_3=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}, \ x_4=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} \\ x_3=\frac{\sqrt{2}}{2}, \ x_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Skorzystaliśmy tutaj z rozkładu trójmianu na czynniki liniowe za pomocą wzoru skróconego mnożenia a²-b²=(a+b)(a-b) i pozbyliśmy się niewymierności z mianownika.

Równanie dwukwadratowe ma więc cztery rozwiązania: