Zadanie - równanie dwukwadratowe
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(8x^4-6x^2+1=0\)
Rozwiązanie zadania
Mamy do czynienia z równaniem dwukwadratowym, w związku z tym stosujemy proste podstawienie:
\(8x^4-6x^2+1=0\)
\(8(x^2)^2-6x^2+1=0\)
\(x^2=t\)
\(8t^2-6t+1=0\)
Teraz rozwiązujemy zwykłe równanie kwadratowe:
\(a=8,\ b=-6,\ c=1\)
\(\Delta_t=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 8=\)
\(\sqrt{\Delta_t}=\sqrt{4}=2\)
\(t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_t}}{2a}=\frac{6-2}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)
\(t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_t}}{2a}=\frac{6+2}{16} =\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)
Wracamy do zmiennej \(x\). Mamy wówczas do rozwiązania dwa równania:
\(x^2=\frac{1}{4}\)
\(x^2-\frac{1}{4}=0\)
\((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})=0\)
\(x_1=\frac{1}{2}, \ x_2=-\frac{1}{2}\)
Skorzystaliśmy tutaj z rozkładu trójmianu na czynniki liniowe za pomocą wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).
Drugie równanie:
\(x^2=\frac{1}{2}\)
\(x^2-\frac{1}{2}=0\)
\((x-\frac{1}{\sqrt{2}})(x+\frac{1}{\sqrt{2}})=0\)
\(x_3=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ x_4=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(x_3=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}, \ x_4=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\)
\( x_3=\frac{\sqrt{2}}{2}, \ x_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Skorzystaliśmy tutaj z rozkładu trójmianu na czynniki liniowe za pomocą wzoru skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) i pozbyliśmy się niewymierności z mianownika.
Równanie dwukwadratowe ma więc cztery rozwiązania:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-02-13, ZAD-610
